Probabilidades de Trás pra Frente: A Lógica do Teorema de Bayes

Antes de apresentar o Teorema de Bayes, convém relembrar a definição de probabilidade condicional, para destacar a diferença entre este conceito e o próprio teorema.

❗  Definição

A probabilidade condicional de um evento B dado que ocorreu o evento A é a chance de ocorrer B sob a condição de que A tenha ocorrido. Representa-se por P(B∣A), que se lê: “probabilidade de B dado A”.    

                          

É importante observar que:

🔸   A e B são eventos dependentes.

🔸  O evento A ocorre antes do evento B.

                                      🛑   Exemplo

Uma urna contém cinco bolas que se diferenciam apenas pela cor: duas vermelhas e três azuis. Retiram-se duas bolas sem reposição, uma após a outra.

Pergunta: Qual a probabilidade de a segunda bola ser vermelha, sabendo que a primeira era azul?

Um diagrama de árvore ajuda a visualizar os possíveis desfechos nessa situação. Todas as probabilidades condicionais são indicadas, e a resposta à pergunta está destacada em amarelo.

          

A resposta é dada pela regra da multiplicação de probabilidades para eventos dependentes:

❗   TEOREMA DE BAYES

⚠️P(B∣A) e P(A∣B) podem parecer símbolos semelhantes, mas representam coisas diferentes. Veja dois exemplos:

1.     Seja A: “ter treinamento técnico”. Seja B: “executar um bom serviço”.

🔸 P(B∣A): probabilidade de executar um bom serviço dado que tem treinamento técnico.

🔸 P(A∣B): probabilidade de ter treinamento técnico dado que executou um bom serviço.

2.     Seja A: “ter sido bom aluno no colegial”. Seja B: “ter sido aprovado no vestibular”.

🔸 P(B∣A): probabilidade de aprovação no vestibular dado que foi bom aluno.

🔸 P(A∣B): probabilidade de ter sido bom aluno dado que foi aprovado no vestibular.

Esses pares de probabilidades aparecem frequentemente em problemas reais. Vamos buscar agora uma fórmula para calcular P(A∣B).

                  

Igualando as expressões:

$$$$

Isolando P(A∣B):

         

🛑 Exemplo – Aplicando o Teorema de Bayes

Vamos voltar ao exemplo das bolas da urna, agora com uma pergunta diferente:

Pergunta: Qual é a probabilidade de a primeira bola retirada ter sido uma bola azul, sabendo que a segunda era vermelha?

Pelo diagrama de árvore, vemos que a segunda bola ser vermelha pode ocorrer de duas maneiras:

                                     ·  Azul e vermelha (A-Z)

                                     ·  Vermelha e vermelha (V-V)

O evento de interesse é: primeira azul dado segunda vermelha, isto é:

$$\mathrm{<span\; class="vlist-s"\; style="text-align:\; justify;"><span\; face="Verdana,\; sans-serif">Aplicamos\; o\; teorema\; de\; Bayes.\; Mas\; vamos\; formalizar.</span></span>}$$

Teorema de Bayes: Sejam A e B dois eventos dependentes que ocorrem em sequência, A antes de B. A probabilidade de ocorrer A sob a condição de B ter ocorrido é dada por: 

Observe o esquema abaixo: está marcado o evento de interesse, que é a probabilidade de ocorrer A dado que B tenha ocorrido. Mas B pode ocorrer de duas maneiras: depois de A e depois de A -traço.

$$\mathrm{<span\; class="vlist-s"\; style="text-align:\; justify;">\; </span><span\; class="vlist-s"><span\; style="text-align:\; center;"><span\; style="font-size:\; medium;"><b><br></b></span></span></span><span\; class="vlist-s"><span\; style="text-align:\; center;"><span\; style="font-size:\; medium;"><b> \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; </b></span></span></span>}$$🔔 Interpretação

O Teorema de Bayes inverte a ordem da informação:

$$$$

      ·  A probabilidade condicional trata de P(B∣A): probabilidade de ocorrer B dado que ocorreu A.

$\mathrm{}$

     ·  O Teorema de Bayes trata de  P(A∣B): probabilidade de ocorrer A dado que ocorreu B, ou seja, o reverso da probabilidade condicional.

🛑 Exemplo – Teste do bafômetro

Em uma cidade, o teste do bafômetro é obrigatório.

                  ·      25% dos motoristas bebem antes de dirigir.

                  ·      Dos que bebem, 99% testam positivo.

                  ·      Dos que não bebem, 17% também testam positivo.

Pergunta: Se um motorista testou positivo, qual a chance de ele ter realmente ingerido bebida alcoólica?

Use os eventos: B: bebe; NB: não bebe ;+: teste positivo

$<o:p></o:p>$

$<math\; display="block"\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi></mi></mrow></semantics></math>$

A probabilidade pedida é:

  🛑 Exemplo – Corrida de cavalos

Dois cavalos correm: Branco e Negro.

·  Em 12 corridas anteriores, Branco venceu 5 vezes e Negro 7.

·  Em 3 das 5 vitórias de Branco, chovia.

·  Em 1 das 7 vitórias do Negro, também chovia.

Está chovendo agora. Qual a probabilidade de Branco vencer?

O que queremos é:

Use os dados no diagrama de árvore para encontrar a probabilidade: $\frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; verdana;"><span\; style="font-size:\; small;">3/4.</span></span>}}{}$

$\frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; verdana;"><span\; style="font-size:\; small;"><br></span></span><span\; style="font-family:\; verdana;"><span\; style="font-size:\; small;"> \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; **************************</span></span>}}{}$

Nota: 1. Thomas Bayes (1702-1761) foi um pastor presbiteriano e matemático inglês, conhecido por ter formulado o caso especial do teorema de Bayes.