Teorema de Bayes

Antes de apresentar o teorema de Bayes, convém lembrar a definição de probabilidade condicional, para registrar a diferença entre probabilidade condicional e o teorema de Bayes.

                                               Definição

Probabilidade condicional de B dado A é a probabilidade de ocorrer o evento B sob a condição de ocorrer o evento A. Indica-se por P(B|A), que se lê “probabilidade de B dado A”.

É importante notar: A e B são dois eventos dependentes que ocorrem em sequência.  O evento A antecede o evento B.

                                                  Exemplo

Uma urna contém cinco bolas diferentes apenas quanto à cor: duas são vermelhas, três são azuis. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida da outra, sem recolocar na urna a primeira bola retirada. 

Pergunta-se: Qual é a probabilidade de a segunda bola  ser vermelha  sob a condição de a primeira bola retirada ser a azul?

O diagrama de árvore ajuda entender o que pode acontecer quando se retiram duas bolas de uma urna, na situação descrita. Estão calculadas todas as probabilidades condicionais e assinalada em amarelo a probabilidade pedida.

A probabilidade de a segunda bola  ser vermelha  sob a condição de a primeira bola retirada ser a azul é dada pelo teorema da multiplicação de probabilidades, eventos dependentes:

       TEOREMA DE BAYES

 Os símbolos P(B ǀ A) e P(A ǀ B) podem ter aparência similar, mas há grande diferença no que eles representam. Por exemplo, faça A representar ter treinamento técnico e faça B representar executar um bom serviço. Veja:

   ·   P(B ǀ A) = probabilidade de “bom serviço” dado o “treinamento técnico”.

   ·  P(A ǀ B) = probabilidade de “ter treinamento técnico” dado o “bom serviço”.

 Outro exemplo: faça A representar ser bom aluno e faça B representar ser aprovado no vestibular. Veja:

  · P(B ǀ A) = probabilidade de “ aprovado no vestibular” dado “ser bom aluno”.

   · P(A ǀ B) = probabilidade de “ser bom aluno” dado “aprovado no vestibular”.

Muitos problemas envolvem um par de probabilidades condicionais. Vamos buscar a fórmula para obter P(A ǀ B). Para isso, veja a 2ª regra da multiplicação em postagem anterior (teorema da multiplicação de probabilidades ou a regra do e para eventos dependentes) e lembre-se de que A e B são dois eventos que ocorrem em sequência, A antecede B. Temos, pela "regra do e":

Donde:

Portanto:

Exemplo

Vamos voltar às bolas na urna, para entender que o teorema de Bayes responde pergunta diferente da que foi respondida pelo cálculo da probabilidade condicional.

Uma urna contém cinco bolas diferentes apenas quanto à cor: duas são vermelhas, três são azuis. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida da outra, sem recolocar na urna a primeira bola retirada. 

Pergunta: qual é a probabilidade de a primeira bola retirada ser azul, sob a condição de a segunda bola retirada ter sido a vermelha?

Veja o diagrama de árvore: bola vermelha na segunda retirada acontece de duas maneiras, isto é, azul e vermelha ou vermelha e vermelha:

O evento de interesse é sair bola azul na primeira retirada dado ter saído bola vermelha na segunda retirada, ou seja: 

Então a probabilidade de a primeira bola retirada ser azul sob a condição de a segunda bola retirada ser vermelha é dada por:

                                 

Aplicamos o teorema de Bayes. Mas vamos formalizar.

Teorema de Bayes: Sejam A e B dois eventos dependentes que ocorrem em sequência, A antes de B. A probabilidade de ocorrer A sob a condição de ocorrer B é dada por:

Observe o esquema abaixo: está marcado o evento de interesse, que é a probabilidade de ocorrer A dado ter ocorrido B. Mas B pode ocorrer de duas maneiras: depois de A e depois de A-traço.

Lembrando: o teorema de Bayes é o “reverso” de probabilidade condicional:

·         A probabilidade condicional trata a probabilidade de ocorrer um evento B sob a condição de ocorrer seu antecedente A.

·         O teorema de Bayes trata a probabilidade de ocorrer o evento A sob a condição de ocorrer o evento B que sucede A.

Exemplo

Em uma cidade em que o teste do bafômetro é obrigatório, 25% dos motoristas têm o hábito de dirigir depois de beber. Quando testados, 99% dos motoristas que beberam positivam para álcool.  No entanto, 17% dos motoristas que não bebem também positivam no bafômetro.  Você é um agente da lei. Qual é a probabilidade de uma pessoa que positiva no bafômetro realmente ter feito uso de bebida alcoólica?

Os eventos “bebe” e “não bebe” serão indicados pelas letras BB e NB e o fato de positivar no bafômetro por + e - respectivamente. Veja o diagrama de árvore.

Exemplo

Você vai a uma corrida de cavalos. Dois cavalos estão no páreo: o Branco e o Negro. Branco venceu 5 das 12 vezes que correu com o Negro. E qual cavalo você apostaria? É razoável apostar no Negro porque, da informação que você tem, a probabilidade de o Branco ganhar é 5/12 e de o Negro ganhar é 7/12. Mas você recebe outra informação: chovia, em 3 das 5 corridas que Branco venceu e chovia, em 1 das 7 corridas que Negro venceu. Como está chovendo, você aposta em Branco. Qual a probabilidade de ele (e você!) ganhar? Veja o diagrama de árvore e ache a probabilidade pedida, que é ¾.

Notas: 1. Thomas Bayes (1702-1761) foi um pastor presbiteriano e matemático inglês, conhecido por ter formulado o caso especial do teorema de Bayes. 

           2. Estudar probabilidade pensando em dados, moedas, bolas em urnas é ótimo. Mas na prática não use esse artifício para resolver um  problema.