Teste exato de Fisher:distribuição hipergeométrica

 

Observe os dados apresentados na Tabela 1. Você pode encarar o problema de duas maneiras diferentes, que vamos discutir aqui.

Tabela 1. Apresentação tabular

1.   São duas distribuições binomiais

Temos, então, sucessos e fracassos na situação A e sucessos e fracassos na situação B. Logo:

 X₁ é uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros N₁, q₁. Escrevemos:

 X₂ = (X- X₁) é uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros N₂, q₂. Escrevemos:

2.   É uma distribuição hipergeométrica

Os totais marginais são considerados fixos. São N₁ sucessos e N₂ fracassos, N = N₁ + N₂. Uma amostra de n unidades é retirada sem reposição, das quais X são sucessos. Escrevemos:

  

Qual é a distribuição?

Considerando duas distribuições  binomiais, a probabilidade de ocorrer o cenário descrito na Tabela 1, isto é, x₁ sucessos na situação A e x₂ sucessos na situação B  é dada por:

   Agora, pense assim: ocorreram x sucessos. Então, a probabilidade condicional de observar  x sucessos, considerando as distribuições binomiais, é:

que é uma distribuição hipergeométrica. Isto leva ao teste exato de Fisher. Então, veja a implicação. Quando você aplica um teste exato de Fisher, precisa considerar fixo o número de sucessos na situação A. Como a tabela é 2 x 2, tem um só grau de liberdade;  fixar x significa fixar as outras três células. Portanto, os totais marginais ficam fixos. Esta é uma pressuposição para a aplicação do teste exato de Fisher: os totais marginais são fixos. 

Outra implicação importante: não se pode mais testar a igualdade dos parâmetros, como acontece quando se pressupõe duas distribuições binomiais. A questão, aqui, é que sob H₀, q  é um parâmetro “sem sentido” (nuisance parameter). Não interessa o valor de q , mas apenas saber se é o mesmo nas duas binomiais.

 NOTA: para entender distribuição hipergeométrica, veja as postagens anteriores deste mesmo blog.

Teste exato de Fisher

    Dada uma tabela de contingência 2 x 2, se o tamanho da amostra for pequeno (n < 40), recomenda-se aplicar o teste exato de Fisher. Os textos que ensinam aplicar esse teste, apresentam a Tabela 2, para então dar uma fórmula que leva ao teste exato de Fisher.

Tabela 2. Apresentação tabular

    Calcular essa probabilidade não é difícil, embora seja demorado porque exige o cálculo de fatoriais (indicados pelo símbolo !). Mas hoje só se faz o teste exato de Fisher em computador. De qualquer forma, para tornar a questão mais concreta, veja os dados apresentados na Tabela 3. As características em estudo são duas, grupo e sobrevivência.

Tabela 2. Distribuição dos participantes de pesquisa segundo o grupo e a sobrevivência

                  Distribuição hipergeométrica N₁ = 3, N₂ = 3, n = 3 

    Nenhum estatístico pensaria em aplicar um teste de qui-quadrado a esses dados, porque a aproximação da distribuição normal é impossível. Mas foi o exemplo usado por Fisher para a proposta do teste que leva seu nome. Veja:

     O exemplo dado é relativamente fácil de resolver porque aparece valor zero numa das células. Todos os participantes de um grupo deram uma só resposta, indicando associação extrema. É claro que nem sempre existe uma célula com valor zero. Nesses casos – em que em nenhuma célula aparece o zero –, é preciso calcular a probabilidade de ocorrerem desvios mais extremos. Veja mais sobre o assunto em:

Vieira, S. Bioestatística: tópicos avançados.

4 ed. Rio de Janeiro. Elsevier. 2018.