Monday, December 08, 2014
Saturday, November 15, 2014
Variância de uma soma de variáveis aleatórias independentes: exemplo
No processo de extração do ouro, o minério é separado em duas partes: concentrado e
rejeito. Portanto, de certa quantidade M
de minério são obtidas uma quantidade C
de concentrado e uma quantidade R de rejeito. Podemos escrever:
M = C + R
São feitas determinações do teor de ouro, tanto no
minério como no concentrado. É possível, a partir das variâncias das determinações do
teor de ouro no minério e no concentrado, obter a variância do teor de ouro no
rejeito? Para responder à questão: seja m o teor de ouro no minério, c o teor
de ouro no concentrado e r o teor de
ouro no rejeito. Então a quantidade Mm de ouro no minério é dividida em duas partes, isto é,
Mm = C c + R r
Segue-se daí que
Como R = M – C, tem-se que
É razoável considerar que os erros de medida das quantidades M e C são desprezíveis em relação aos erros de medida dos teores de ouro. Desprezando as variâncias de M e C
e pressupondo que m e c são variáveis independentes, podemos obter a variância do teor de ouro no rejeito:
Veja mais em
Vieira, S. Estatística para a Qualidade. Rio de
Janeiro, 3 ed. Elsevier. 2014.
Monday, November 03, 2014
Riscos e estatísticos
Estatística é a ciência que fornece os princípios e a metodologia para coleta,
organização e análise de dados. Por conta disso, os pesquisadores das mais
diferentes áreas buscam, uma vez ou outra, um consultor (a) de estatística. Mas
o consultor de estatística deve ter, além de conhecimento na área, habilidade
para estabelecer bom relacionamento com os profissionais que o procuram. é um risco, de parte a parte.
Muitos anos de atividade como
consultora de estatística me convenceram de que é raro reunir, numa única
entrevista, um problema interessante para o consultor, um pesquisador
inteligente e disposto a estudar e uma situação favorável de trabalho. Mas
quando essas três condições estão ausentes, fica difícil lidar com a situação.
Um constante alerta para as questões de ética talvez seja a melhor defesa
contra os reveses que podem ocorrer. E são muitos os meandros da consultoria
estatística que trazem, em seu bojo, a possibilidade de frustração e sensação
de derrota.
Alguns percalços, porém,
têm alto risco. Existem pesquisadores que esperam demais do consultor de
estatística: querem que o consultor se entusiasme pelo trabalho deles,
repita explicações várias vezes porque eles “não são bons na matemática”, tenha
tempo sempre que eles precisarem e redija os resultados, além de se
responsabilizar pelas conclusões.
Também é comum que um
pesquisador apresente o trabalho feito pelo estatístico como sendo seu, sem
sequer referenciar o nome do profissional que consultou. É fácil medir o risco: basta olhar algumas
revistas especializadas e procurar pelos artigos que expõem análises
estatísticas sofisticadas. Grande parte desses artigos não dá o nome de quem
fez a análise, o nome do programa de computador utilizado ou o título de um
livro didático que exponha a técnica utilizada. Quando perguntados sobre o
autor das análises estatísticas, os autores alegam que o serviço de estatística
foi pago – e esquecem que eles também são pagos para trabalhar.
Não é claro, porém, quando o
estatístico deva ser co-autor do trabalho. Há exageros dos dois lados. Alguns
estatísticos exigem co-autoria de trabalhos em que somente calcularam médias e
desvios padrões e desenharam gráficos. Isso é inaceitável porque, em tais
casos, o trabalho do estatístico é de consultor. Outras vezes, o nome do
estatístico não é sequer citado em trabalhos que exibem, por exemplo, o ajuste
de uma função logística passo a passo para dados de resposta quântica, com
testes e intervalos de confiança.
Entretanto, a melhoria do status profissional do estatístico nas áreas
da saúde depende tanto de o estatístico aprender a dar consultoria como de o
pesquisador aprender metodologia científica. Os estatísticos começam a dar
consultoria sem qualquer tipo de treinamento. No curso de Estatística, o aluno
não aprende metodologia científica nem discute consultoria. Interage pouco com
profissionais de outras áreas. O enfoque é a teoria. Já os profissionais das
áreas da saúde tiveram aulas de Bioestatística, mas no início do curso, em
salas superlotadas. O professor, que sente o desinteresse dos alunos, muitas
vezes ensina apenas a usar um programa de computador e não ensina que a
Estatística dá suporte à pesquisa científica.
De qualquer modo, a quantidade
de atenção dada pelo consultor de estatística ao pesquisador depende de
diversos fatores, tais como competência profissional do consultor, propostas
alternativas de trabalho, conhecimento do pesquisador sobre estatística, status profissional do pesquisador, política
do ambiente de trabalho, simpatia e sentimentos pessoais. A ideia de que a
interação pessoal não ocorre em ciência e que o consultor é um indivíduo calmo
e reservado não confere com a realidade. A consultoria estatística é um caos:
trabalha-se sob a pressão de tempo, da falta de verba, da política do ambiente
de trabalho e da discriminação profissional. Da discriminação profissional sim
– porque há pesquisadores que ainda pensam que o estatístico é mero acessório
de computador.
Sunday, October 26, 2014
Teorema da multiplicação de probabilidades ou a regra do e
Para
bem entender o teorema da multiplicação de probabilidades, ajuda pensar o teorema dividido em duas regras: a regra nº 1, para a multiplicação de eventos independentes e a regra nº 2, para a multiplicação de eventos dependentes. Vamos
começar pela “regra número 1”.
Eventos
independentes
Dois eventos, A e B, são independentes se a ocorrência de um
deles (A ou B) não tem efeito sobre a ocorrência do outro (B ou A).
Exemplo
Quando se lançam dois dados, o resultado em um dos dados não tem
qualquer efeito sobre o resultado que ocorre no outro dado. Dizemos então que os eventos são independentes.
Na vida real encontramos muitos exemplos de
eventos independentes. Por exemplo, “chover hoje” e “ser feriado amanhã” são
eventos independentes porque o fato de “chover hoje” não muda a possibilidade
de “ser feriado amanhã”, nem o fato de “ser feriado amanhã” muda a
possibilidade de “chover hoje”. Na área de saúde, existem vários exemplos de eventos
independentes: o fato de uma pessoa ser míope não afeta a probabilidade de ter
cárie dentária; a profissão não afeta a probabilidade de uma pessoa ter
cálculos renais; o estado civil do cidadão não modifica a probabilidade de ser
calvo.
Regra
1 da multiplicação (para eventos independentes)
Se A
e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer A e B
é dada pela probabilidade de ocorrer A,
multiplicada pela probabilidade de ocorrer B.
Escreve-se:
Exemplo
Você
lança dois dados ao mesmo tempo: um é vermelho e o outro é amarelo. Qual é a
probabilidade de ocorrer a face 3 no dado amarelo e a face 5 no dado vermelho?
Usando a regra 1 da multiplicação, você calcula a probabilidade de ocorrer face 3 no
dado amarelo e face 5 no dado vermelho. Depois, multiplica essas
probabilidades.
Eventos
dependentes
Se a ocorrência do evento A modifica a
probabilidade de ocorrência do evento B, dizemos que esses dois eventos, A e B,
são dependentes.
Exemplo
Há seis meias em uma gaveta: três vermelhas
e três azuis. Você quer um par de meias vermelhas. Sem olhar, você retira
uma meia da gaveta. É vermelha. Sem recolocar essa meia de volta na gaveta, você retira
uma segunda meia. Nesta segunda retirada, a probabilidade de a segunda meia ser
vermelha é menor. Por quê?
Na 1ª retirada você tinha três meias vermelhas em seis, ou seja, metade das meias era vermelha. Na 2ª retirada você tinha duas meias vermelhas em cinco, ou seja, menos da metade das meias eram vermelhas. A probabilidade de sair meia vermelha na primeira retirada modifica a probabilidade de sair meia vermelha na segunda retirada. Dizemos então que esses eventos são dependentes.
Na 1ª retirada você tinha três meias vermelhas em seis, ou seja, metade das meias era vermelha. Na 2ª retirada você tinha duas meias vermelhas em cinco, ou seja, menos da metade das meias eram vermelhas. A probabilidade de sair meia vermelha na primeira retirada modifica a probabilidade de sair meia vermelha na segunda retirada. Dizemos então que esses eventos são dependentes.
Na vida real é comum nos depararmos com
exemplos de eventos dependentes, ou seja, de eventos que modificam a probabilidade de outros eventos acontecerem.
Por exemplo, o hábito de fumar aumenta a probabilidade de a pessoa ter câncer
de pulmão; o motorista alcoolizado tem maior probabilidade de provocar acidente
de trânsito; a criança imunizada para determinada doença tem menor
probabilidade de ter essa doença.
Probabilidade
condicional
Probabilidade
condicional de B
dado A é a probabilidade de ocorrer o
evento B sob a condição de o evento A
ter ocorrido. Indica-se por P(B|A), que se lê “probabilidade de B dado A”.
Exemplo
Há
seis meias na gaveta: três vermelhas e três azuis. Você quer um par de meias vermelhas. Sem olhar, retira uma meia da gaveta e, sem recolocar essa meia
na gaveta, retira outra. Qual é a probabilidade de ambas serem vermelhas?
Você tem aí uma probabilidade condicional: probabilidade de sair uma segunda meia vermelha dado que a primeira era vermelha. Em outras palavras, foi calculada a probabilidade de sair uma segunda meia vermelha sob a condição de a primeira meia retirada ser vermelha.
Toda vez que calcularmos a probabilidade condicional de B dado A, devemos lembrar que o espaço amostral fica reduzido – a condição de o evento A ter ocorrido diminui o espaço amostral para a ocorrência do evento B .
Exemplo
Um
dado foi lançado. 1) Qual é a probabilidade de ocorrer número 5? 2) Qual
é a probabilidade de ocorrer número 5, sabendo que saiu um número ímpar?
Para responder a primeira questão, você tem seis eventos no espaço amostral e apenas um deles é de interesse. Para responder a segunda questão, você tem três eventos no espaço amostral e, também, apenas um deles é de interesse. Então
Para responder a primeira questão, você tem seis eventos no espaço amostral e apenas um deles é de interesse. Para responder a segunda questão, você tem três eventos no espaço amostral e, também, apenas um deles é de interesse. Então
Regra 2 da multiplicação (para eventos dependentes)
Se
A e B são eventos dependentes,
a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A multiplicada pela probabilidade de
ocorrer B dado que A ocorreu (esta probabilidade é
condicional). Escreve-se:
Exemplo
O chapéu contém cinco bolas: duas são vermelhas. Então a probabilidade de a primeira
bola retirada ser vermelha é
A probabilidade de as duas bolas retiradas serem vermelhas é dada pelo produto:
Dois
eventos são independentes se a probabilidade de que ocorram juntos é igual ao
produto das probabilidades de que ocorram em separado, uma vez que a ocorrência
de um deles em nada ajuda a ocorrência do outro.
Exemplo
A
questão da independência é bem
ilustrada pelo jogo de uma moeda duas
vezes: o resultado do primeiro lançamento não influi no resultado do segundo
lançamento. Os dois eventos são independentes.
Veja probabilidade em:
Thursday, October 09, 2014
Teorema da soma de probabilidades ou a regra do ou
Para
bem entender a soma de probabilidades, ajuda dividir a questão em duas regras:
a regra nº 1, para a soma de eventos mutuamente exclusivos e a regra nº 2, para
a soma de eventos não mutuamente exclusivos.
Eventos mutuamente exclusivos
Se dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo, dizemos que são mutuamente exclusivos. A ocorrência de um desses eventos exclui (impede) a ocorrência do outro.
Eventos mutuamente exclusivos
Se dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo, dizemos que são mutuamente exclusivos. A ocorrência de um desses eventos exclui (impede) a ocorrência do outro.
Exemplo
Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Então se a ocorreu a face “cinco”, ficou excluída a possibilidade de ter ocorrido qualquer outra face.
Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Então se a ocorreu a face “cinco”, ficou excluída a possibilidade de ter ocorrido qualquer outra face.
Regra
1 da soma (para eventos mutuamente exclusivos)
Se
A e B são eventos mutuamente
exclusivos, a probabilidade de ocorrer A
ou B é igual à soma das
probabilidades de ocorrer cada um deles. Escreve-se:
Exemplo
Quando
você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Qual é a probabilidade de, em
um lançamento, ocorrer 1 ou 6? Usando a regra 1 da soma, você calcula a
probabilidade de ocorrer 1 e a probabilidade de ocorrer 6. Depois, soma essas
probabilidades.
Exemplo
Imagine
um pote de vidro com 11 bolinhas de diferentes cores: 3 azuis, 4 brancas, 2
vermelhas, 1 amarela, 1 verde. Qual é a probabilidade de, em uma só retirada,
ocorrer bola verde ou bola amarela? Usando a regra 1 da soma, você calcula a
probabilidade de ocorrer bola verde e a probabilidade de ocorrer bola amarela.
Depois, soma essas probabilidades.
Eventos não mutuamente
exclusivos
Dois
eventos A e B são não mutuamente
exclusivos se eles têm pelo menos um resultado em comum.
Exemplo
Quando você joga um dado, só pode ocorrer
uma das faces. Mas pense nos eventos: ocorrer “número ímpar” ou ocorrer “número
maior do que quatro”. Esses dois eventos têm um resultado em comum: é o número
cinco, que tanto pertence ao evento “número ímpar” como ao evento “número maior
do que quatro”.
Veja a figura: “números ímpares” estão
circundados por uma elipse azul e “números maiores do que quatro” por um
retângulo vermelho. Se você contar o número de resultados que correspondem ao
evento “número ímpar” e o número de resultados que correspondem ao evento
“número maior do que quatro”, terá contado 5 duas vezes.
Regra
2 da soma (para eventos não mutuamente exclusivos)
Se
A e B são dois eventos não mutuamente
exclusivos, há uma sobreposição, isto é, existe pelo menos um resultado de A
que também é resultado de B. Então a probabilidade de ocorrer A ou B
é dada pela probabilidade de A, mais
a probabilidade de B, menos a
probabilidade de A e B (contada duas vezes). Escreve-se:
Exemplo
Quando
você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Qual é a probabilidade de, em
um lançamento, ocorrer “número ímpar” ou ocorrer “número maior do que quatro”?
Usando a regra 2 da soma, você calcula a probabilidade de ocorrer “número
ímpar”, a probabilidade de ocorrer “número maior do que quatro” e probabilidade
de ocorrer “número ímpar maior do que quatro”. Depois, aplica a regra 2:
Exemplo
Uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas?
Como
um baralho tem 52 cartas, das quais quatro são reis e 13 são de copas, alguém
poderia pensar que a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas é dada
pela soma
Mas
esta resposta está errada porque o rei
de copas é tanto rei como copas. Então o rei de copas teria sido contado duas
vezes – como rei e como copas.
Para obter a probabilidade de sair uma sair
um rei ou uma carta de copas, some as probabilidades de sair rei e sair carta
de copas e subtraia a probabilidade de sair o rei de copas, contado duas
vezes:
Exercícios
1. É dado o conjunto de dados: A={1;
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.
a) Qual é a probabilidade de, ao se tomar um número ao acaso desse conjunto
A de dados, o número ser um ímpar menor do que 4 ou um ímpar maior do que 8?
b) Qual é a probabilidade de, ao se tomar um número ao acaso desse conjunto A de dados, o número ser um ímpar ou múltiplo de 3?
b) Qual é a probabilidade de, ao se tomar um número ao acaso desse conjunto A de dados, o número ser um ímpar ou múltiplo de 3?
2. Qual é a probabilidade de, ao lançar um dado, sair número ímpar ou múltiplo de 3?
3. Jogam-se um dado e uma moeda. O jogador ganha se sair “cara” na moeda
ou “2” no dado. Qual é a probabilidade de o jogador ganhar arremessando juntos o
dado e a moeda?
Respostas:
1. a) 3/10.
1. b) 3/5.
2. 2/3
3. 7/12
2. 2/3
3. 7/12
Como se chegar a essas respostas?
1.a) São 10 eventos possíveis.São eventos de interesse:ímpares menores do que 4, isto é, 1 e 3 e maiores do que 8, ou seja, só o 9. Veja os eventos de interesse em vermelho:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.
Daí, a resposta 3/10.
1.b) São 10 eventos possíveis.São eventos de interesse:ímpares ou múltiplos de 3. São ímpares: 1; 3; 5; 7; 9. São múltiplos de 3: 3; 6; 9. Veja que os números 3 e 9 foram contados duas vezes, porque são tanto números ímpares como múltiplos de 3. Usando a regra 2 da soma:
2. São 6 eventos possíveis, dos quais 3 são números ímpares e 2 são múltiplos de 3, mas 3 é tanto ímpar como múltiplo de 3. Então, aplicando a regra 2 da soma:
Veja as respostas de interesse marcadas em vermelho, múltiplos de 3 e em azul, os ímpares.
3. Veja: tanto faz sair “cara” na moeda ou “2” no dado, o jogador ganha nos dois casos. A probabilidade de sair “cara” na moeda é
A probabilidade de sair “2” no dado é
No entanto, pode “sair cara” na moeda e “2” no dado em uma única jogada. A probabilidade desse evento é
Logo, para calcular a probabilidade de o jogador ganhar, use a regra 2 da soma. A probabilidade pedida é
Veja também a tabela e conte: são 12 eventos possíveis; 7 são de interesse. Logo, a probabilidade pedida é 7/12.
1.a) São 10 eventos possíveis.São eventos de interesse:ímpares menores do que 4, isto é, 1 e 3 e maiores do que 8, ou seja, só o 9. Veja os eventos de interesse em vermelho:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.
Daí, a resposta 3/10.
1.b) São 10 eventos possíveis.São eventos de interesse:ímpares ou múltiplos de 3. São ímpares: 1; 3; 5; 7; 9. São múltiplos de 3: 3; 6; 9. Veja que os números 3 e 9 foram contados duas vezes, porque são tanto números ímpares como múltiplos de 3. Usando a regra 2 da soma:
Veja as respostas de interesse marcadas em vermelho (ímpares) e circundadas por quadrado (múltiplos de 3):
2. São 6 eventos possíveis, dos quais 3 são números ímpares e 2 são múltiplos de 3, mas 3 é tanto ímpar como múltiplo de 3. Então, aplicando a regra 2 da soma:
Veja as respostas de interesse marcadas em vermelho, múltiplos de 3 e em azul, os ímpares.
3. Veja: tanto faz sair “cara” na moeda ou “2” no dado, o jogador ganha nos dois casos. A probabilidade de sair “cara” na moeda é
A probabilidade de sair “2” no dado é
No entanto, pode “sair cara” na moeda e “2” no dado em uma única jogada. A probabilidade desse evento é
Logo, para calcular a probabilidade de o jogador ganhar, use a regra 2 da soma. A probabilidade pedida é
Veja também a tabela e conte: são 12 eventos possíveis; 7 são de interesse. Logo, a probabilidade pedida é 7/12.
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