Teorema da soma de probabilidades ou a regra do ou

Para bem entender a soma de probabilidades, ajuda dividir a questão em duas regras: a regra nº 1, para a soma de eventos mutuamente exclusivos e a regra nº 2, para a soma de eventos não mutuamente exclusivos.

                              Eventos mutuamente exclusivos

Se dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo, dizemos que são mutuamente exclusivos. A ocorrência de um desses eventos exclui (impede) a ocorrência do outro.

                                                Exemplo
Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Então se a ocorreu a face “cinco”, ficou excluída a possibilidade de ter ocorrido qualquer outra face.

Regra 1 da soma (para eventos mutuamente exclusivos)

Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A ou B é igual à soma das probabilidades de ocorrer cada um deles. Escreve-se:

 Exemplo

Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Qual é a probabilidade de, em um lançamento, ocorrer 1 ou 6? Usando a regra 1 da soma, você calcula a probabilidade de ocorrer 1 e a probabilidade de ocorrer 6. Depois, soma essas probabilidades.

Exemplo

Imagine um pote de vidro com 11 bolinhas de diferentes cores: 3 azuis, 4 brancas, 2 vermelhas, 1 amarela, 1 verde. Qual é a probabilidade de, em uma só retirada, ocorrer bola verde ou bola amarela? Usando a regra 1 da soma, você calcula a probabilidade de ocorrer bola verde e a probabilidade de ocorrer bola amarela. Depois, soma essas probabilidades.

  Eventos não mutuamente exclusivos

Dois eventos A e B são não mutuamente exclusivos se eles têm pelo menos um resultado em comum.

Exemplo

Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Mas pense nos eventos: ocorrer “número ímpar” ou ocorrer “número maior do que quatro”. Esses dois eventos têm um resultado em comum: é o número cinco, que tanto pertence ao evento “número ímpar” como ao evento “número maior do que quatro”.

Veja a figura: “números ímpares” estão circundados por uma elipse azul e “números maiores do que quatro” por um retângulo vermelho. Se você contar o número de resultados que correspondem ao evento “número ímpar” e o número de resultados que correspondem ao evento “número maior do que quatro”, terá contado 5 duas vezes.  

                   

Regra 2 da soma (para eventos não mutuamente exclusivos)

Se A e B são dois eventos não mutuamente exclusivos, há uma sobreposição, isto é, existe pelo menos um resultado de A que também é resultado de B. Então a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B, menos a probabilidade de A e B (contada duas vezes). Escreve-se:

Exemplo

Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Qual é a probabilidade de, em um lançamento, ocorrer “número ímpar” ou ocorrer “número maior do que quatro”? Usando a regra 2 da soma, você calcula a probabilidade de ocorrer “número ímpar”, a probabilidade de ocorrer “número maior do que quatro” e probabilidade de ocorrer “número ímpar maior do que quatro”. Depois, aplica a regra 2:

Exemplo

Uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas?

Como um baralho tem 52 cartas, das quais quatro são reis e 13 são de copas, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas é dada pela soma

                           

 Mas esta resposta está errada porque o rei de copas é tanto rei como copas. Então o rei de copas teria sido contado duas vezes – como rei e como copas. 

Para obter a probabilidade de sair uma sair um rei ou uma carta de copas, some as probabilidades de sair rei e sair carta de copas e subtraia a probabilidade de sair o rei de copas, contado duas vezes:  

Exercícios

1. É dado o conjunto de dados: A={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.

      a)    Qual é a probabilidade de, ao se tomar um número ao acaso desse conjunto A de dados, o número ser um ímpar menor do que 4 ou um ímpar maior do que 8?
    b)    Qual é a probabilidade de, ao se tomar um número ao acaso desse conjunto A de dados, o número ser um ímpar ou múltiplo de 3?

     2. Qual é a probabilidade de, ao lançar um dado, sair número ímpar ou múltiplo de 3? 

3. Jogam-se um dado e uma moeda. O jogador ganha se sair “cara” na moeda ou “2” no dado. Qual é a probabilidade de o jogador ganhar arremessando juntos o dado e a moeda?

Respostas:

            1.  a) 3/10.

            1.  b) 3/5.
            2.  2/3
            3. 7/12

Como se chegar a essas respostas?

1.a) São 10 eventos possíveis.São eventos de interesse:ímpares menores do que 4, isto é, 1 e 3 e maiores do que 8, ou seja, só o 9. Veja os eventos de interesse em vermelho:
                     1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. 
Daí, a resposta 3/10.
1.b) São 10 eventos possíveis.São eventos de interesse:ímpares ou múltiplos de 3. São ímpares: 1; 3; 5; 7; 9. São múltiplos de 3: 3; 6; 9. Veja que os números 3 e 9 foram contados duas vezes, porque são tanto números ímpares como múltiplos de 3. Usando a regra 2 da soma:

Veja as respostas de interesse marcadas em vermelho (ímpares) e circundadas por quadrado (múltiplos de 3):

2. São 6 eventos possíveis, dos quais 3 são números ímpares e 2 são múltiplos de 3, mas 3 é tanto ímpar como múltiplo de 3. Então, aplicando a regra 2 da soma:
                  
Veja as respostas de interesse marcadas em vermelho, múltiplos de 3 e em azul, os ímpares.

3. Veja: tanto faz sair “cara” na moeda ou “2” no dado, o jogador ganha nos dois casos. A probabilidade de sair “cara” na moeda é

  A probabilidade de sair “2” no dado é 

 No entanto, pode “sair cara” na moeda e “2” no dado em uma única jogada. A probabilidade desse evento é

 Logo, para calcular a probabilidade de o jogador ganhar, use a regra 2 da soma. A probabilidade pedida é

Veja também a tabela e conte: são 12 eventos possíveis; 7 são de interesse. Logo, a probabilidade pedida é 7/12.