Conjuntos

Conjuntos são coleções de itens. Você pode pensar no conjunto de pessoas que vai convidar para sua festa de aniversário, no conjunto de feriados no semestre, no conjunto de árvores de uma praça, no conjunto de roupas que vai precisar para uma viagem.

Elementos são os itens contidos no conjunto. Para designar os elementos de um conjunto, você deve escrevê-los em sequência, entre chaves e separados por vírgulas. Por exemplo, seja I o conjunto de seus irmãos. Se eles se chamam Mateus e Lavínia, o conjunto de seus irmãos é escrito da seguinte forma:

                              I = {Mateus, Lavínia}

Diagrama de Venn é uma representação gráfica na qual os elementos de um conjunto são ilustrados dentro de círculos. No diagrama, há sempre dois ou mais círculos, e cada círculo representa um conjunto.

Para desenhar um diagrama de Venn, comece traçando um retângulo, que representará o todo ou universo. Em seguida, desenhe dentro dele os círculos que representarão os conjuntos.

Por exemplo, suponha que você seja torcedor de um time de futebol que disputa um campeonato. Nesse caso, você pode considerar dois conjuntos de jogadores: os do “seu” time e os do time rival.

Conjuntos disjuntos, ou mutuamente exclusivos, são aqueles que não possuem elementos em comum. É o caso do exemplo que acabamos de ver.

 Há conjuntos que possuem elementos em comum, ou seja, um ou mais elementos pertencem simultaneamente a dois ou mais conjuntos. Por exemplo, imagine o conjunto D de animais domésticos e o conjunto F de felinos. O gato pertence aos dois conjuntos. 

 No diagrama de Venn, existe uma região onde os círculos se sobrepõem. Essa região é chamada de intersecção e representada por D∩F, que se lê D intersecção F.

 

Quando estamos interessados nos elementos de um conjunto ou de outro, dizemos que estamos interessados na união dos conjuntos. Por exemplo, se o diretor de uma escola deseja falar com alguém da comissão de formatura, formada por alunos (conjunto A) e professores (conjunto P), não importa se essa pessoa é aluno ou professor – o diretor está interessado em um elemento de A união P.

 A região correspondente à união é representada por A∪P, que se lê A união P.

 

Universo é o conjunto de todos os elementos possíveis. É geralmente indicado pela letra U. No primeiro exemplo que vimos, em que se suponha que você fosse torcedor de um time de futebol que disputa um campeonato, o universo poderia ser constituído por todos os jogadores de futebol.

Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento. Por exemplo, o conjunto de universitários analfabetos é vazio. Esse conjunto é indicado pela letra grega ∅ (lê-se fi). Podemos usar o conhecimento sobre conjunto para resolver problemas ¹.

Exemplo ²: Em um canil estão 24 cães: 12 são pretos, seis têm cauda curta e 15 têm pelos longos. Apenas um cão é preto, tem cauda curta e pelos longos. Dois cães são pretos e têm cauda curta, mas não têm pelos longos. Outros dois cães têm cauda curta e pelos longos, mas não são pretos. Se todos os cães do canil têm pelo menos uma das características citadas, quantos cães são pretos, com pelos longos, mas não têm cauda curta?

                                  Exemplo (2)
Em um canil, há 24 cães:

                             ·    12 são pretos ,

                            ·    6 têm cauda curta,

                            ·    15 têm pelos longos.

   Informações adicionais:

                  ·    Apenas 1 cão é preto, tem cauda curta e pelos longos.

                  ·    2 cães são pretos e têm cauda curta;  não têm pelos longos.

                   ·    2 cães têm cauda curta e pelos longos, mas não são pretos.

   Pergunta:

Quantos cães são pretos, têm pelos longos, mas não têm cauda curta?

·  O número de cães em cada categoria está escrito no respectivo círculo, com realce em amarelo.

·       O número de cães em cada interseção está em vermelho.

·     Pergunta-se o número (incógnita) de cães na interseção dos três círculos.

               

 

·       Usando os dados que estão ao lado dos círculos (com realce amarelo), faça as contas para determinar quantos cães estão em cada um dos conjuntos: pretos, cauda curta, pelos longos. Esses cálculos estão indicados em letras azuis.

·       Somando os números de cães em cada um dos conjuntos, você obtém o número de cães no canil:

9-x+2+1+x+1+2+12-x =24

·       Para achar x:

                                                        -x+x-x+9+2+1+1+2+12

                                                       27- x=24

             x=3

Três cães são pretos, têm pelos longos, mas não têm cauda curta

 Referências

1.    Working with Sets and Venn Diagrams. http://www.regentsprep.org/regents/math/algebra/ap2/lvenn.htm

2.    Elementary Test Prep: Math 4 Test (Grades 4) Draw a Picture

www.studyzone.org/testprep/math4/.../drawpict4l.cf..