Friday, August 30, 2019

Problema de probabilidade: quer mudar sua escolha?


O problema ou paradoxo de Monty Hall é aparentemente fácil, mas, na realidade, é um problema de probabilidade de difícil solução. Só para deixar você tranquilo – estatísticos profissionais já erraram – e para ter certeza de que a solução dada aqui, hoje bem conhecida, é a correta, fizeram até simulações.

Mas vamos primeiro à história do problema. Na década de 70 havia um programa de auditório apresentado por Monty Hall na ABC, rede de televisão nos Estados Unidos da América. O quadro de maior sucesso era Let’s Make a Deal! O apresentador, Monty Hall, convidava alguém da platéia para ir até o palco e escolher uma de três portas que ali estavam.

Veja bem: eram três portas. Atrás de uma delas havia um carro; atrás de cada uma das outras duas, havia uma cabra. O apresentador sabia o que estava atrás de cada porta, mas seu convidado não. De qualquer forma, o convidado escolhia uma das portas ao acaso, sabendo que receberia como prêmio o que estava atrás dela.

Para resolver o problema, vamos construir o espaço dos eventos possíveis. São três portas (porta nº 1; porta nº 2; porta nº 3) Há três possibilidades de o apresentador arranjar carro e cabras, que denominaremos A, B e C. Veja a tabela abaixo.


Arranjo (posição de carro e cabras)
Porta escolhida
Porta 1
Porta 2
Porta 3
A
Carro
Cabra
Cabra
B
Cabra
Carro
Cabra
C
Cabra
Cabra
Carro

Qualquer que seja o arranjo do carro e das cabras – A, B ou C –, a probabilidade de uma pessoa ganhar o carro é 1/3, se escolher uma porta ao acaso sem saber o que há detrás dela.

O convidado fazia então sua escolha. Feita a escolha, o apresentador abria outra porta – que não a indicada pela pessoa convidada – e mostrava que havia ali uma cabra. Veja bem: qualquer porta que a pessoa tenha escolhido, sempre haverá outra porta com uma cabra atrás. O apresentador então perguntava:

Quer trocar a porta que você escolheu e ainda está fechada, pela outra porta, que também está fechada?

Se o convidado trocar a porta que escolheu tem probabilidade 2/3 de ganhar.
 Se não mudar a opção, a probabilidade de ganhar o carro é 1/3. Difícil de engolir?


Mas vamos lá: veja a tabela dada anteriormente. Há três arranjos possíveis para os prêmios: A, B, C. Veja o arranjo A:
 

  As opções do convidado eram três. Escolher:
·           Porta 1: o apresentador abriria a Porta 2 ou a 3; trocar significa ganhar uma cabra.
·           Porta 2, o apresentador abriria a Porta 3; trocar significa ganhar o carro.
·           Porta 3, o apresentador abriria a Porta 2; trocar significa ganhar o carro.
       Se a ordem do arranjo for A, a pessoa ganha (se trocar) em duas das três opções. Veja a tabela dada em seguida. Acontece o mesmo se a ordem dos arranjos for B ou C. 
Esta resposta foi dada por Marilyn vos Savant, de QI sabidamente alto, escritora e colunista da revista Parade dos Estados Unidos da América. Na revista, Marilyn vos Savant responde a perguntas de seus leitores sobre matemática e ciência avançada. Mas a solução não foi aceita pacificamente. Muitos probabilistas duvidaram da resposta, mas acabaram vencidos.

Referências

1.  MLODINOW, L. O Andar do Bêbado. Rio de Janeiro Zahar. 2009.  Tradução de Diego Alfaro.
2.   ALIAGA, M. e GUNDERSON, B. Interactive Statistics. New Jersey, Prentice Hall, 2 ed. 2003.