DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA: exemplos

 

PROBLEMA 1: Uma caixa contém 11 bolas vermelhas e 7 bolas azuis. Oito bolas são retiradas da caixa ao acaso. Qual é a probabilidade de saírem três bolas azuis e, consequentemente, cinco vermelhas?

Tabela 1. Apresentação tabular

  Você pode resolver o problema usando a fórmula da distribuição hipergeométrica. A probabilidade pedida é

                    Para calcular esse valor, usamos uma calculadora:

Hypergeometric Calculator: Disponível em: https://stattrek.com/online-calculator/hypergeometric.aspx. Acesso em: 10/03/2021

PROBLEMA 2: Dos 30 professores de uma escola, 20 são mulheres e 10 são homens. È tomada uma amostra, totalmente ao acaso, de 5 professores para discutir o problema de um aluno. Qual é a probabilidade de: a) a amostra seja constituída só por mulheres? b) a amostra seja constituída por 3 mulheres e 2 homens?

SOLUÇÃO DA QUESTÃO a:

Você encontra a mesma solução usando a fórmula abaixo:

      Mais fácil é usar a calculadora:

        SOLUÇÃO DA QUESTÃO b:

       Lembre-se da calculadora:

PROBLEMA 3: Dos 25 itens de um lote finalizado em uma linha de produção, 2 eram não conformes. Foram retirados ao acaso 4 itens para inspeção. a) Calcule a probabilidade de os 4 itens amostrados serem conformes, de 3 serem conformes e de 2 serem conformes. b) A amostra pode ter 3 itens não conformes? 

      SOLUÇÃO DA QUESTÃO a:

Sabemos que N=25; N₁=23, N₂=2, n₁=4, x₁=4. Podemos construir a Tabela 2.

                    Tabela 2. Apresentação tabular

É dada a fórmula:

      No entanto, é mais fácil usar uma calculadora. Veja, por exemplo:

Hypergeometric distribution Calculator: https://keisan.casio.com/exec/system/1180573201

   Usando essa calculadora, você obtém:

    O gráfico da distribuição também é dado pela calculadora.

        Figura 1. Apresentação gráfica da distribuição

SOLUÇÃO DA QUESTÃO b:

Se, no lote, só há 2 itens não conformes, obviamente não podem ser amostrados 3 itens não conformes. A probabilidade de isso acontecer é zero.

PROBLEMA 4: Há 5 pessoas em uma sala: 3 foram vacinadas contra a gripe e 2 não foram vacinadas. Toma-se uma amostra de 3 pessoas. a) Construa uma tabela para apresentar os dados. b) Qual é a probabilidade de as 3 não terem tido gripe?

SOLUÇÃO DA QUESTÃO a:

                    Tabela 3. Apresentação tabular

SOLUÇÃO DA QUESTÃO b:

É dada a fórmula:

PROBLEMA 5: Um baralho tem 52 cartas, das quais 26 são vermelhas e 26 são pretas. Você tira uma carta ao acaso. Qual é a probabilidade de você ter tirado uma carta vermelha?

SOLUÇÃO: São 52 possibilidades, das quais 26 são favoráveis. Então a probabilidade de sair uma carta “vermelha” é 

Simples, não é? Mas vamos complicar. Vamos ver o problema como uma hipergeométrica. Temos um baralho de 52 cartas (a população). Metade é de um tipo (cartas vermelhas) e metade é de outro tipo (cartas pretas). Tira-se uma carta (a amostra) ao acaso. Qual é a probabilidade de essa carta ser vermelha? Construa a tabela e calcule a probabilidade pedida usando a hipergeométrica.

                    Tabela 1. Apresentação tabular

É dada a fórmula:

Distribuição hipergeométrica: gráficos

 

Para melhor conhecer a distribuição hipergeométrica, vamos voltar ao exemplo dado na postagem anterior.

PROBLEMA: Uma caixa contém 20 bolas vermelhas e 20 bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa ao acaso. Seja X₁ o número de bolas vermelhas que podem ser retiradas da caixa. Faça X_{1 =} 0, 1, 2, 3, 4. Calcule as respectivas probabilidades e você terá a distribuição hipergeométrica para N = 40, N₁ = 20, N₂ = 20 e n = 4.  Organize os resultados em uma tabela e em um gráfico.

SOLUÇÃO:

É dada a fórmula:

Nessa fórmula, fazendo X₁= 0,1,2,3 e 4 consecutivamente, você obtém as respectivas probabilidades. Os resultados estão na Tabela 1 e no Gráfico 1.

Tabela 1. Distribuição hipergeométrica: N₁= N₂=20, n= 4

X1	P(X1)
0	0,05301
1	0,24948
2	0,39501
3	0,24948
4	0,05301
Total	1

 

        Gráfico 1. Distribuição hipergeométrica N₁= N₂= 20 e n= 4

A distribuição é simétrica. Vamos ver então uma distribuição hipergeométrica assimétrica.

PROBLEMA: Uma caixa contém 20 bolas vermelhas e quatro bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa ao acaso. Faça X₁ indicar o número de bolas vermelhas retiradas. Os valores possíveis são X_{1 =} 0, 1, 2, 3, 4. Calcule as respectivas probabilidades e você terá a distribuição hipergeométrica para n₁ = 20 e n₂ = 4 e n = 4.  Organize os resultados em uma tabela e em um gráfico.

É dada a fórmula:

Fazendo X_{1 =} 0, 1, 2, 3 e 4 consecutivamente, você obtém respectivas probabilidades. Os resultados estão na Tabela 2 e no Gráfico 2. Note que a distribuição é assimétrica.

                         Tabela 2. Distribuição hipergeométrica N₁=20, N₂=4 e n=4

             Gráfico 2. Distribuição hipergeométrica: N₁=20, N₂=4 e n=4

Para bem entender a distribuição hipergeométrica, vamos ver outro exemplo. Mas saiba que os resultados de problemas como os apresentados aqui podem ser apresentados em uma tabela 2 x 2. Veja a tabela 3, que apresenta os resultados de uma distribuição hipergeométrica.

Tabela 3. Apresentação tabular da distribuição hipergeométrica

Vamos limitar nossa apresentação das possíveis distribuições hipergeométricas a partir de um exemplo de Fisher, o famoso estatístico que propôs, a partir da hipergeométrica, o teste exato de Fisher. Veja a Tabela 4. A distribuição está no Gráfico 3.

Tabela 4. Distribuição hipergeométrica N₁ = N₂ = n= 3 

Os totais marginais são fixos. A tabela tem 1 grau de liberdade, isto é, mudando o valor de uma célula, mudam os valores de todas as outras. Vamos então estudar a distribuição para número de mortos igual a zero, 1, 2 e 3. Então:

                 Gráfico 3. Distribuição hipergeométrica N₁ = N₂ = n= 3

Veja agora a Tabela 5 e a respectiva distribuição, que está no Gráfico 4. O tamanho dos grupos foi modificado, mas mantidos o tamanho da população (6) e o tamanho da amostra (3). Vamos então estudar a distribuição para x_i = 1, 2 e 3. Note que x_i não pode ser igual a 4, porque a amostra é de tamanho 3, nem igual a zero, porque só há dois controles. Então, uma amostra de 3 contém, necessariamente, um elemento tratado.

    Tabela 5. Distribuição hipergeométrica N₁ = 4, N₂ = 2, n = 3 

         Gráfico 4. Distribuição hipergeométrica N₁= 4, N₂= 2 n= 3

Veja agora a Tabela 6 e a respectiva distribuição, que está no Gráfico 5. O tamanho dos grupos foi modificado, mas mantidos o tamanho da população (6) e o tamanho da amostra (3). Vamos então estudar a distribuição para x_i = 2 e 3. Note que outros valores de x_i não são possíveis.

Tabela 6. Distribuição hipergeométrica N₁ = 5, N₂ = 1, n = 3

Gráfico 5. Distribuição hipergeométrica N₁= 4, N₂= 2 n= 3

Como pode ser entendido destes últimos exemplos, mantendo fixos os tamanhos da população e da amostra, mas fazendo variar o tamanho dos grupos, mudam as probabilidades associadas às diferentes células da tabela. 

 Hypergeometric Calculator: Disponível em: https://stattrek.com/online-calculator/hypergeometric.aspx. Acesso em: 10/03/2021

 

Distribuição hipergeométrica: função de distribuição

           Para entender distribuição hipergeométrica, veja um  exemplo.

PROBLEMA: Uma caixa contém 20 bolas vermelhas e 20 bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa ao acaso. Qual é a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas e, consequentemente, duas azuis?

             SOLUÇÃO: A caixa contém 20 + 20 = 40 bolas. Dela são retiradas quatro 

             bolas ao acaso. O número de eventos diferentes é

                                        
De quantas maneiras podem ser retiradas duas bolas vermelhas? Há 20 bolas vermelhas na caixa. Então existem

                                          
maneiras de serem retiradas duas bolas vermelhas da caixa. Da mesma forma, existem

                                         
maneiras de serem retiradas duas bolas azuis da caixa. Logo, a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas e duas bolas azuis dessa caixa, quando são retiradas ao acaso quatro bolas, é:

 

Definição de distribuição hipergeométrica

 

Seja uma população com N unidades, das quais N₁ são de determinado tipo A e N₂ são de tipo B. Evidentemente:

N₁ + N₂ = N

 Suponha que é tomada, dessa população, uma amostra aleatória de tamanho n ≤ N. Seja X₁ o número de elementos do tipo A na amostra. Então X₁ é uma variável aleatória cujos valores possíveis são 0, 1, 2, ... , n.

A função de distribuição da variável aleatória X₁ pode então ser escrita como segue:

                       

Uma distribuição hipergeométrica fica definida quando são dados N, N₁, n e X₁. Para facilitar no desenvolvimento das fórmulas, vamos indicar o número de elementos do tipo B na amostra por x₂. Evidentemente:

Então, desenvolvendo a fórmula da função de distribuição,, vem:

           Vamos voltar ao exemplo.

PROBLEMA: Uma caixa contém 20 bolas vermelhas e 20 bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa ao acaso. Qual é a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas e, consequentemente, duas azuis?

SOLUÇÃO

          Você pode fazer os cálculos à mão, mas vai dar muito trabalho.

        Pense em usar uma calculadora como, por exemplo:

              Hypergeometric Calculator: Disponível em: https://stattrek.com/online-calculator/hypergeometric.aspx. Acesso em: 10/03/2021