Os pesquisadores usam dados de amostras para estimar os parâmetros das populações de onde essas amostras foram retiradas. Há vários métodos que produzem bons estimadores, mas vamos abordar aqui um deles: o método de máxima verossimilhança (method of maximum likelihood).
Imagine uma urna com grande quantidade de
bolas verdes e amarelas1. Você não
sabe qual das cores ocorre com maior frequência, mas sabe que a proporção entre
elas só pode ser:
1. Três bolas verdes para cada bola amarela e, nesse caso, a probabilidade p de alguém tirar uma bola verde dessa urna é ¾.
2. Uma bola verde para cada três bolas amarelas
e, então, a probabilidade p de alguém tirar uma bola verde dessa urna é ¼.
Se forem retiradas n bolas da urna sempre com reposição, o número x de bolas verdes que podem ocorrer segue a distribuição binomial. Neste
caso, x pode assumir os valores x = 0, 1, 2, …, n com p =¼ ou p = ¾. A função de distribuição da binomial é
Você retira n = 3 bolas da urna, com reposição. Podem ocorrer, quando se
retiram três bolas dessa urna, zero, 1, 2 ou 3 bolas verdes. Estimar o valor de
p fica fácil porque você precisa
escolher entre apenas dois valores: p
= ¼ ou p = ¾. Como você faz essa
escolha?
Veja a Tabela 1, que apresenta as
probabilidades associadas à ocorrência de x
= 0, 1, 2, ou 3 bolas verdes para n =
3 retiradas, em função dos dois valores possíveis de p.
Tabela 1: Probabilidades associadas à ocorrência de x bolas verdes para n = 3 retiradas, considerando dois valores possíveis de p
|
Valor de p |
Nº de bolas verdes na amostra |
|||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
p =¾ |
1/64 |
9/64 |
27/64 |
27/64 |
|
p = ¼ |
27/64 |
27/64 |
9/64 |
1/64 |
Se não sair bola verde (x = 0), a estimativa p =
¼ seria preferível. Por quê? É mais provável ocorrer x = 0 (nenhuma bola verde) se p
= ¼ do que se p = ¾. Veja a Tabela 1: se p = ¼, a probabilidade de ocorrer x = 0 é 27/64, mas se p=¾,
a probabilidade de ocorrer x = 0 é 1/64.
Então, você diria:
·
Se
sair uma ou nenhuma bola verde (x = 0
ou 1), então p = ¼;
·
Se
saírem duas ou três bolas verdes (x =
2 ou 3), então p =¾.
Você estimou p usando o estimador de máxima verossimilhança, isto é,
aquele que torna máxima a probabilidade de ocorrer o valor obtido. Mas o exemplo
utilizado era propositalmente fácil: p
só podia assumir um de dois valores possíveis.
Na distribuição binomial, a estimação por
máxima verossimilhança pode ser, às vezes, difícil de aplicar2, embora
seja conceitualmente simples. De maneira geral, a estimativa do parâmetro p é
obtida pela maior proporção do valor mais registrado.
Considere, agora, outra situação: um experimento no qual os resultados possíveis são apenas sucessos (S) ou falhas (F). Não é possível observar toda a população, o que significa que o parâmetro nunca será conhecido. Mas você pode observar amostras. Uma amostra poderia resultar em S, S, F, F, S, F.
Uma abordagem intuitiva para estimar o
parâmetro p, que representa a
probabilidade de sucesso em um ensaio com apenas dois resultados possíveis, é calcular
a proporção de sucessos observados em várias tentativas. No exemplo apresentado
(em que o número de observações é propositalmente pequeno para facilitar a
exposição), o cálculo seria:
Esta é a estimativa de máxima verossimilhança, porque para n = 6 e x = 3, o valor mais provável para a proporção de sucessos nessa distribuição seja 3/6. Consulte a Tabela 2 para as probabilidades associadas à ocorrência de sucessos em amostras de tamanho
O estimador de máxima verossimilhança para p (pode ser demonstrado matematicamente) é a proporção de sucessos observados em n tentativas.
Referências
1.Mood A.
M. e Graybill, F. A. Introduction to the theory of statistics. McGraw. 1963. P178-180.
2.MstatArrayProgrammingLanguage www.mcardle.wisc.edu/mstat/help/.../Notes-03.html
No comments:
Post a Comment