Teorema de Bayes: The Harvard Medical School Test

    O problema apresentado aqui foi proposto aos alunos da Escola de Medicina de Harvard (uma das melhores escolas de medicina do mundo – possivelmente a melhor). É o chamado The Harvard Medical School Test. A maioria dos alunos deu resposta errada, pois disseram: “a probabilidade de a pessoa ter a doença D é 95%”.

                              Veja o problema. Qual é a resposta?

 

Um teste diagnóstico para determinada doença D só pode resultar em positivo ou negativo, indicando presença ou ausência da doença.

Estima-se que a probabilidade de um falso negativo seja 0% e a probabilidade de um falso positivo seja 5%.

A taxa de incidência da doença é baixa. Um levantamento (survey) mostrou que, na população, ocorre um caso por mil habitantes.

Se uma pessoa selecionada ao acaso na população for submetida ao teste e o resultado der positivo, qual é a probabilidade de essa pessoa ter a doença D?

 

Resolva o problema aplicando o teorema de Bayes.

 

Se a pessoa tem a doença, o resultado do teste é verdadeiro positivo com probabilidade 1,000. O falso negativo ocorre com probabilidade 0,000.

 

P(+│D) = 1,000

P(-│D) = 0,000

Se a pessoa não tem a doença, o resultado do teste pode ser falso positivo com probabilidade 0,050 ou verdadeiro negativo com probabilidade 0,950.

 

P(+│D’) = 0,050

P(-│D’) = 0,950

A taxa de incidência da doença é um caso por mil habitantes.

 

P(D) = 0,001

P(D’) = 0,999

            

                  

A resposta é 0,0196 ou 1,96%.

 

Sensibilidade do teste é a probabilidade de o teste dar resultado positivo em pessoas que têm a doença (no caso é 1,000).

 

Especificidade é a probabilidade de o teste dar resultado negativo em pessoas que não têm a doença (no caso é 0,950). O teste é, portanto, sensível e específico.

 

Entretanto, alta sensibilidade e alta especificidade são condições necessárias, mas não suficientes para avaliar a correção do resultado do teste.  Na avaliação do resultado do teste, é preciso considerar probabilidades a priori de a pessoa ter a doença.

 

Veja, em postagens anteriores, em que se avaliou a probabilidade de ser certo um resultado positivo em quatro situações, com diferentes probabilidades a priori (estimativas diferentes da probabilidade de a pessoa ter a doença).

Leia mais em:

 

1.Patrick Maher Philosophy 471 Fall 2006

  https://www.google.com.br/?gws_rd=ssl#q= Howson+2+Bayes%27s+Theorem+(pp.+13--26)+-+Patrick+Maher

2. Howson, Colin e Urbach, Peter. Scientific Reasoning: the Bayesian approach. Open Court. 2006. P.13-26

 

Teorema de Bayes e teste diagnóstico na Genética

Antes de ver o exemplo, convém ler, neste mesmo blog, as postagens:
            Teorema de Bayes 
            Testes diagnósticos: sensibilidade e especificidade.

Considere a porfiria, uma doença autossômica dominante. Toda pessoa afetada tem um genitor afetado e tem 50% de chance de transmitir o gene (e consequentemente a doença) para os filhos. Veja o heredograma, em que verde indica pessoa sem a doença e vermelho indica pessoa afetada.

 

Existe um teste para o diagnóstico precoce da doença, que tem sensibilidade  0,82 e especificidade é 0,963.

Situação 1: Uma pessoa teve resultado positivo no teste para a porfiria. Qual é a probabilidade de essa pessoa ter a doença?

Sem qualquer informação adicional, a resposta é óbvia: se a sensibilidade do teste (probabilidade de verdadeiros positivos no total de doentes) é 0,82, a probabilidade de essa pessoa ter porfiria é 0,82 ou 82%.

Situação 2: A porfiria é uma doença rara, que ocorre na população com probabilidade 0,01%. Se uma pessoa tomada ao acaso da população obtiver resultado positivo no teste para a doença, qual é a probabilidade de ela ter a doença?

Como a sensibilidade do teste é 0,82 e a especificidade é 0,963, a probabilidade de a pessoa, que teve resultado positivo no teste diagnóstico ter a doença deve ser obtida pelo teorema de Bayes. Veja o diagrama de árvore. Observando o diagrama, fica mais fácil calcular a probabilidade de a pessoa ter porfiria, dado que o teste positivou.

Situação 3: A porfiria é uma doença autossômica dominante. É dada a informação adicional de que uma pessoa que fez o teste tem um irmão germano com porfiria. Se o resultado no teste foi positivo, qual é a probabilidade de essa pessoa ter a doença?

A probabilidade de um paciente que tem irmão com a doença ter porfiria se tiver resultado positivo no teste é obtida pelo teorema de Bayes. Observe o diagrama de árvore e calcule a probabilidade pedida.

Situação 4: Uma pessoa  não conhece seu histórico genético familiar (digamos foi adotada bebê), mas um médico experiente tem o palpite de que a  probabilidade de essa pessoa ter a porfíria é 30%. Se a pessoa positivar no teste, qual é a probabilidade de essa pessoa ter porfiria? 

A probabilidade é obtida aplicando o teorema de Bayes. Veja o diagrama de árvore e o cálculo abaixo.

Pense nisto: para a mesma pergunta – qual é a probabilidade de a pessoa ter a doença? – foram obtidas respostas  diferentes. Por quê?

O teorema de Bayes permite rever um valor calculado de probabilidade com base em informação anterior. Qual das respostas é a correta? Depende da situação:

v  Na 1ª situação, a probabilidade de a pessoa ter a doença foi obtida apenas pela sensibilidade do teste.

v  Na 2ª situação, a probabilidade foi obtida considerando a baixa prevalência na população, conhecida por grandes levantamentos (surveys) feitos anteriormente.

v  Na 3ª situação, a probabilidade a priori foi obtida considerando, em seu cálculo, conhecimento de genética e a história familiar do paciente.

v  Na 4ª situação, a probabilidade foi obtida levando em conta o palpite (educated guess) do médico, ou seja, a partir de intuição clínica.

                                   IMPORTANTE

O teorema de Bayes permite incorporar conhecimentos anteriores aos fatos observados: usamos um valor de probabilidade a priori (obtida antes de saber o resultado do teste) para mais bem estimar uma probabilidade a posteriori, obtida dos dados observados. 

       Este exemplo é de 
             Motulsky, H. Intuitive Biostatistics.Oxford universityPress. 

                 1995. P133-6.

Probabilidades de Trás pra Frente: A Lógica do Teorema de Bayes

Antes de apresentar o Teorema de Bayes, convém relembrar a definição de probabilidade condicional, para destacar a diferença entre este conceito e o próprio teorema.

❗  Definição

A probabilidade condicional de um evento B dado que ocorreu o evento A é a chance de ocorrer B sob a condição de que A tenha ocorrido. Representa-se por P(B∣A), que se lê: “probabilidade de B dado A”.    

                          

É importante observar que:

🔸   A e B são eventos dependentes.

🔸  O evento A ocorre antes do evento B.

                                      🛑   Exemplo

Uma urna contém cinco bolas que se diferenciam apenas pela cor: duas vermelhas e três azuis. Retiram-se duas bolas sem reposição, uma após a outra.

Pergunta: Qual a probabilidade de a segunda bola ser vermelha, sabendo que a primeira era azul?

Um diagrama de árvore ajuda a visualizar os possíveis desfechos nessa situação. Todas as probabilidades condicionais são indicadas, e a resposta à pergunta está destacada em amarelo.

          

A resposta é dada pela regra da multiplicação de probabilidades para eventos dependentes:

❗   TEOREMA DE BAYES

⚠️P(B∣A) e P(A∣B) podem parecer símbolos semelhantes, mas representam coisas diferentes. Veja dois exemplos:

1.     Seja A: “ter treinamento técnico”. Seja B: “executar um bom serviço”.

🔸 P(B∣A): probabilidade de executar um bom serviço dado que tem treinamento técnico.

🔸 P(A∣B): probabilidade de ter treinamento técnico dado que executou um bom serviço.

2.     Seja A: “ter sido bom aluno no colegial”. Seja B: “ter sido aprovado no vestibular”.

🔸 P(B∣A): probabilidade de aprovação no vestibular dado que foi bom aluno.

🔸 P(A∣B): probabilidade de ter sido bom aluno dado que foi aprovado no vestibular.

Esses pares de probabilidades aparecem frequentemente em problemas reais. Vamos buscar agora uma fórmula para calcular P(A∣B).

                  

Igualando as expressões:

$$$$

Isolando P(A∣B):

         

🛑 Exemplo – Aplicando o Teorema de Bayes

Vamos voltar ao exemplo das bolas da urna, agora com uma pergunta diferente:

Pergunta: Qual é a probabilidade de a primeira bola retirada ter sido uma bola azul, sabendo que a segunda era vermelha?

Pelo diagrama de árvore, vemos que a segunda bola ser vermelha pode ocorrer de duas maneiras:

                                     ·  Azul e vermelha (A-Z)

                                     ·  Vermelha e vermelha (V-V)

O evento de interesse é: primeira azul dado segunda vermelha, isto é:

$$\mathrm{<span\; class="vlist-s"\; style="text-align:\; justify;"><span\; face="Verdana,\; sans-serif">Aplicamos\; o\; teorema\; de\; Bayes.\; Mas\; vamos\; formalizar.</span></span>}$$

Teorema de Bayes: Sejam A e B dois eventos dependentes que ocorrem em sequência, A antes de B. A probabilidade de ocorrer A sob a condição de B ter ocorrido é dada por: 

Observe o esquema abaixo: está marcado o evento de interesse, que é a probabilidade de ocorrer A dado que B tenha ocorrido. Mas B pode ocorrer de duas maneiras: depois de A e depois de A -traço.

$$\mathrm{<span\; class="vlist-s"\; style="text-align:\; justify;">\; </span><span\; class="vlist-s"><span\; style="text-align:\; center;"><span\; style="font-size:\; medium;"><b><br></b></span></span></span><span\; class="vlist-s"><span\; style="text-align:\; center;"><span\; style="font-size:\; medium;"><b> \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; </b></span></span></span>}$$🔔 Interpretação

O Teorema de Bayes inverte a ordem da informação:

$$$$

      ·  A probabilidade condicional trata de P(B∣A): probabilidade de ocorrer B dado que ocorreu A.

$\mathrm{}$

     ·  O Teorema de Bayes trata de  P(A∣B): probabilidade de ocorrer A dado que ocorreu B, ou seja, o reverso da probabilidade condicional.

🛑 Exemplo – Teste do bafômetro

Em uma cidade, o teste do bafômetro é obrigatório.

                  ·      25% dos motoristas bebem antes de dirigir.

                  ·      Dos que bebem, 99% testam positivo.

                  ·      Dos que não bebem, 17% também testam positivo.

Pergunta: Se um motorista testou positivo, qual a chance de ele ter realmente ingerido bebida alcoólica?

Use os eventos: B: bebe; NB: não bebe ;+: teste positivo

$<o:p></o:p>$

$<math\; display="block"\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi></mi></mrow></semantics></math>$

A probabilidade pedida é:

  🛑 Exemplo – Corrida de cavalos

Dois cavalos correm: Branco e Negro.

·  Em 12 corridas anteriores, Branco venceu 5 vezes e Negro 7.

·  Em 3 das 5 vitórias de Branco, chovia.

·  Em 1 das 7 vitórias do Negro, também chovia.

Está chovendo agora. Qual a probabilidade de Branco vencer?

O que queremos é:

Use os dados no diagrama de árvore para encontrar a probabilidade: $\frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; verdana;"><span\; style="font-size:\; small;">3/4.</span></span>}}{}$

$\frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; verdana;"><span\; style="font-size:\; small;"><br></span></span><span\; style="font-family:\; verdana;"><span\; style="font-size:\; small;"> \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; **************************</span></span>}}{}$

Nota: 1. Thomas Bayes (1702-1761) foi um pastor presbiteriano e matemático inglês, conhecido por ter formulado o caso especial do teorema de Bayes. 

      

Sensibilidade, especificidade e valor preditivo: entenda de vez essas diferenças

                       

                            Teste sensível ou teste específico?

    A escolha entre um teste altamente sensível ou altamente específico depende do contexto clínico:

🔹 Teste sensível: indicado quando há suspeita de doença fatal, porém curável.

🔹 Teste específico: indicado quando há suspeita de doença fatal e incurável.

                                       Justificativas

  1. Doença fatal, porém curável

    Nesses casos, o diagnóstico precoce é essencial para iniciar o tratamento o quanto antes. Portanto, é preferível utilizar um teste altamente sensível, que detecte a maioria dos casos, mesmo que isso implique um maior número de falsos positivos. Se o teste der positivo, recomenda-se aplicar um segundo teste, mais caro e mais específico, para confirmar o diagnóstico.

  2. Doença fatal e incurável

      Neste cenário, o impacto emocional e psicológico de um falso positivo pode ser devastador, já que não há tratamento disponível. Assim, é preferível usar um teste altamente específico, minimizando diagnósticos incorretos. Falsos negativos são menos preocupantes, e o mais adequado é manter monitoramento contínuo.

Valores preditivos

     Você pode estar se perguntando:

🔹 Se o teste deu positivo, qual é a chance de o paciente realmente ter a doença?

🔹 Se o teste deu negativo, qual é a chance de o paciente realmente não ter a doença?

   Para responder a essas perguntas, usamos os valores preditivos.

    Valor preditivo positivo (VPP)

  É a probabilidade de que um resultado positivo seja realmente verdadeiro.

​

🔹 VP: verdadeiros positivos

🔹 FP: falsos positivos

               (VP + FP) é o total de resultados positivos no estudo.

  Valor preditivo negativo (VPN)

 É a probabilidade de que um resultado negativo seja realmente verdadeiro.

​

🔹 VN: verdadeiros negativos

🔹 FN: falsos negativos

                (VN + FN) é o total de resultados negativos no estudo.

Exemplo

    Pesquisadores testaram a presença do fator reumatoide (FR) no soro de 450 pacientes:

         🔹 176 tinham artrite reumatoide,

         🔹 274 não tinham a doença.

   Os dados estão resumidos na Tabela 1 e permitem calcular o VPP e o VPN para esse teste.

Tabela 1

Resultados do exame para FR em pacientes

com e sem artrite reumatoide

 

   Sensibilidade, especificidade e valores preditivos: quando usar?

🔹 Sensibilidade e especificidade são fundamentais na escolha do teste diagnóstico, especialmente quando o paciente ainda não foi testado.

🔹 Valores preditivos tornam-se relevantes depois que você já tem o resultado do teste em mãos.

    Mas atenção: os valores preditivos dependem da prevalência da doença na população estudada.

Prevalência

    A prevalência é a proporção de pessoas com uma determinada doença em uma população.

   Ela é geralmente estimada por meio de levantamentos populacionais (surveys). Ter uma ideia da prevalência é essencial, pois os valores preditivos variam conforme ela.

Exemplo

 influência da prevalência nos valores preditivos

Considere dois cenários com diferentes prevalências da doença. Observe como os valores preditivos mudam.

Tabela 2

Prevalência = 0,25

Tabela 3

                          Prevalência = 0,75

Todo este texto tem como base:

         Motulsky, H. Intuitive Biostatistics. New York. Oxford University Press. 1995. p: 129-135.

         Vieira, S. Bioestatística: tópicos avançados. Rio de Janeiro. Guanabara-Koogan. 5 ed. 2023.