Meus dados são normais?

É comum as pessoas confundirem erros com resíduos. Mas erro (error) significa a diferença de um dado valor da variável com um parâmetro muitas vezes “teórico”, enquanto resíduo (residual) significa a diferença de um valor observado da variável e uma estatística (uma estimativa do parâmetro) obtida da amostra. Numa análise de variância com um critério de classificação, erros e resíduos são dados, respectivamente, por

 Ninguém conhece os erros e_ij porque os parâmetros, ou seja, as médias verdadeiras m_i dos grupos são desconhecidas. No entanto, o pesquisador faz um ensaio exatamente para obter as estimativas dessas médias. Veja como exemplo os dados de um ensaio fictício, apresentados na Tabela 1. As estimativas das médias m₁, m₂, m₃ e m₄ estão no rodapé dessa tabela.

Tabela 1 - Valores obtidos em um ensaio

Podemos estimar os erros fazendo a diferença entre cada dado e a média (estimada) do grupo ao qual esse dado pertence. São os resíduos, apresentados na Tabela 2.

Tabela 2 - Resíduos (dados na Tabela 1)

O estudo das estimativas dos erros, ou seja, dos resíduos (residuals) é referido na literatura como análise de resíduos. Essa análise ajuda verificar se as pressuposições exigidas para proceder à análise de variância são plausíveis. Vamos discutir então a questão dos resíduos, dada à pressuposição de que, para proceder a uma ANOVA, os erros devem ter distribuição normal ou aproximadamente normal.

O gráfico da distribuição normal ou – como preferem os físicos, da curva de Gauss – tem aspecto típico: é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média como mostra a Figura 1. Mas como saber se os resíduos têm distribuição normal? Você pode recorrer à avaliação gráfica ou a um teste estatístico.

Figura 1- Distribuição normal

Os testes estatísticos apresentam a vantagem de serem objetivos. Você verifica a aderência (goodness off it) de seus dados à curva normal No entanto, os testes de normalidade são muito sensíveis ao tamanho da amostra ¹: se a amostra for pequena, os testes de normalidade têm pouco poder de rejeitar a hipótese de nulidade (de que a distribuição é normal). Isso significa que amostras pequenas passam mais facilmente pelo teste de normalidade. Por outro lado, uma amostra grande terá resultado significante no teste, mesmo que o desvio da normalidade seja pequeno. No entanto, desvios pequenos da normalidade não afetam os resultados do teste F (na ANOVA, um critério) quando a amostra é grande. Mas é possível fazer testes estatísticos. Há vários, mas os mais comuns são o Shapiro-Wilks e o Kolmogorov-Smirnov. Este último foi aplicado aos dados apresentados na Tabela 1, usando o programa SPSS. O resultado foi não-significante (p-valor = 0,200).

De qualquer forma, é sempre recomendável olhar os dados em gráfico. Usando poucas ferramentas, você pode obter muita informação. E – quando se pensa em não-normalidade – é conveniente lembrar os coeficientes de assimetria e de curtose. A distribuição dos dados pode ser assimétrica, isto é, ter mais unidades de um lado do que do outro. Veja a Figura 2. Também pode ter curtose (é pior para a análise quando a curtose é negativa). Veja a Figura 3. 

     Figura 3- Curtose

Mas que gráficos você pode fazer? Pense primeiro em um histograma. Com os resíduos apresentados na Tabela 2, você pode construir o histograma da Figura 3. Tenha ou não experiência, é difícil ver aí uma distribuição normal. Por outro lado, salta aos olhos que a distribuição é simétrica. Lembre-se de que a ANOVA é bastante robusta a violações da normalidade, ou seja, mesmo que esta pressuposição não seja atendida completamente, os resultados ainda assim permanecem válidos. Mais importante é a distribuição dos erros seja simétrica, que é o caso do exemplo ².

Figura 3 - Histograma

                         

Algumas estatísticas descritivas, como média, mediana, variância, desvio padrão, coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose ajudam a entender a distribuição. A média dos resíduos é, evidentemente, zero e a mediana também é zero. O coeficiente de assimetria (no Excel está Distorção) é zero, porque a distribuição é perfeitamente simétrica. A curtose (no Excel está Curt), negativa, significa que a distribuição dos resíduos tem cauda mais leve e é mais achatada do que a distribuição normal. Mas o valor é pequeno. Então, nada indica ainda que não possamos aceitar a normalidade dos resíduos.

Tabela 3 – Estatísticas descritivas dos resíduos (dados na Tabela 1)

Você também pode desenhar o gráfico de ramo e folhas, que acaba sendo apenas um histograma colocado em posição horizontal. Mas um boxplot  (diagrama de caixa) é informativo. É um gráfico relativamente simples. Veja na Figura 4 o boxplot feito com os resíduos apresentados na Tabela 2. Você vê a simetria e a ausência de outliers, o que dá segurança para proceder a uma análise de variância. 

                                           Figura 4 - Boxplot

Dois outros gráficos também são muito úteis: P-P plot e Q-Q plot. Um gráfico Q-Q plot ou gráfico dos quartis-quartis (quantile-quantile plot) está apresentado na Figura 5. No eixo das abscissas estão os valores observados dos resíduos e no eixo das ordenadas estão os valores dos resíduos sob a hipótese de que a distribuição deles é normal. Quando os pontos estão sobre uma reta que faz 45º com o eixo das abscissas, a distribuição é normal. Pequenos desvios da normalidade são aceitáveis. Como não se ensina fazer esse gráfico em cursos introdutórios de estatística, será dado o procedimento em outra postagem.

 Figura 5

Referências

1.        Asghar Ghasemi and Saleh Zahedias. Normality Tests for Statistical Analysis: A Guide for Non-Statisticians.  Int J Endocrinol Metab. 2012 Spring; 10(2): 486–489

2.         SCHEFFÉ, H. The analysis of variance. New York : Wiley, 1959.

Veja Também:

*****************************************************************Um pouco mais:

Em um curso de análise de dados, a assimetria é informalmente definida em termos de comprimento da cauda ou da relação média, mediana, moda. Na ilustração clássica da relação entre assimetria, média, mediana e moda, a assimetria é à direita se a média está à direita da mediana e a mediana está à direita da moda. Veja a figura

Esta figura está em

Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule

Paul T. von Hippel
The Ohio State University

Journal of Statistics Education Volume 13, Number 2 (2005),

ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html

Mas há exceções.

(See http://www.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html for discussion of exceptions.)

De qualquer modo, a assimetria é definida em termos do 3º momento.

Stela me pergunta: Será que existe uma distribuição de dados em que a média é menor do que a mediana e o 1º momento está mais perto da mediana do que o 3º momento? Confira, por favor.