Teste de Tukey-Kramer

    O pesquisador busca testes pos-hoc para comparar médias de grupos quando já obteve resultado significante na ANOVA (análise de variância) e seu ensaio tem três ou mais grupos.

    Diversos são os testes que estão à disposição do pesquisador, alguns dos quais já discutimos em postagens anteriores. Vamos tratar aqui o método de Tukey-Kramer, que foi desenvolvido para os casos em que os grupos em comparação têm tamanhos diferentes. Nesses casos, faz-se necessário ajustar o procedimento à situação (substituir r por r_i e r_j).

    Para proceder ao teste de Tukey-Kramer, é preciso assumir que as populações têm variâncias iguais. Portanto, o quadrado médio do resíduo (QMR), obtido na ANOVA, é a estimativa da variância da variável.

    O valor da diferença mínima significante (d_ij) entre as médias de dois grupos de tamanhos r_i e r_j  (d_ij), pelo teste de Tukey-Kramer, é dado por:

                

    Encontra-se o valor q_(k,gl,a), denominado amplitude estudentizada, na tabela de amplitude estudentizada q. Procure na tabela, no nível de significância a, o valor de q para k grupos e os graus de liberdade do resíduo da análise de variância. QMR é o quadrado médio do resíduo da análise de variância e r_i e r_j  são os números de repetições de cada um dos grupos em comparação.

EXEMPLO

  A Tabela 1 apresenta os dados de um ensaio com quatro grupos (marcas de chá). As médias dos grupos estão no rodapé da tabela. Vamos comparar essas médias aplicando o teste de Tukey-Kramer. É preciso, primeiro, fazer uma análise de variância (ANOVA). Essa análise está apresentada na Tabela 2. 

     As comparações de médias de marcas estão logo abaixo das tabelas. Utilizou-se, para o teste de Tukey-Kramer, o valor de q no nível de 5%, considerando k = 4 marcas e n - k =24 - 4 = 20 graus de liberdade do resíduo.

Tabela 1 - Conteúdo de ácido fólico (vitamina B) em folhas de

 chá verde selecionadas ao acaso de quatro marcas (1) 

 Tabela 2 - Análise de variância dos dados da Tabela 1

Para comparar a média da marca 1 com a média da marca 2, com a  = 5%, é preciso calcular:

Para comparar a média da marca 1 com a média da marca 3, com a = 5%, é preciso calcular:

                               

Procedendo da mesma maneira, são obtidos os valores de d_ij para as demais comparações. A Tabela 3 apresenta, com as diferenças das médias estimadas, os valores das d_ij. Toda vez que o valor absoluto da diferença entre duas médias for maior do que a respectiva d_ij, rejeita-se a hipótese de igualdade de médias.

Tabela 3 – Comparação de médias pelo teste de Tukey -Kramer

    A interpretação dos resultados apresentados na Tabela 3 é a de que, em média, o conteúdo de ácido fólico no chá da marca 1 é maior do que o conteúdo de ácido fólico no chá da marca 4.

    Obter as diferenças mínimas significantes pelo teste de Tukey-Kramer é trabalhoso porque cada comparação de médias exige um cálculo. Claro que os programas para computadores fazem a análise estatística rapidamente, mas nem sempre foi assim. Então, já se propôs, quando os tamanhos de grupos não são muito diferentes, calcular a diferença mínima significante na forma tradicional, proposta por Tukey, mas usar, em lugar de r (que seria o número de repetições em todos os grupos) a média harmônica H dos tamanhos de grupos. O nível de significância não fica, porém, exato. A fórmula fica como segue:

 

    Vamos ver este procedimento usando os mesmos dados da Tabela 1. Verifique que os tamanhos dos grupos são 7, 5, 6, 6. Para calcular a média harmônica H, aplique a fórmula:

Para o exemplo:

 Então

    É fácil verificar que, neste exemplo, a interpretação do teste permanece.

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Veja a Tabela de amplitude estudentizada em

table of the studentized range - David Lane http://davidmlane.com/hyperstat/sr_table.html

Veja também

Multiple Comparisons With Unequal Sample Sizes https://www.uvm.edu/~dhowell/gradstat/.../labs/.../Multcomp.html
ANOVA & Tukey-Kramer test. https://www.youtube.com/watch?v=ZU1PgVWTXKY