ANOVA: erros são variáveis aleatórias independentes

    

Para fazer uma análise de variância, é preciso pressupor que os erros são variáveis aleatórias independentes. Em geral,  a independência é determinada apenas pela maneira como os dados são coletados ¹.

    Por exemplo, se você observa cobaias da mesma gaiola ou  pessoas residentes na mesma casa, não pode considerar que os erros das observações são independentes. Outro exemplo: se você obtém durante diversas semanas medidas na mesma pessoa para estudar o efeito de uma droga terapêutica ao longo do tempo – também não pode considerar que os erros das medidas são independentes. 

   Qualquer medida obtida em uma unidade em determinado instante (y_i+1) está, necessariamente, correlacionada com a medida feita anteriormente nessa mesma unidade (y_i). Medidas feitas em unidades agrupadas também estão, muito frequentemente, correlacionadas. É o que se chama  correlação serial.

  Quando os erros são dependentes porque foram tomadas observações na mesma unidade ou em unidades agrupadas, o resultado da análise de variância fica comprometido ². 

 Portanto, diante de qualquer suspeita de não independência dos erros – é essencial proceder à análise dos resíduos.  Desenha-se um gráfico dos resíduos padronizados contra a ordem (no tempo ou no espaço) em que as observações foram coletadas.  Se a pressuposição de independência estiver satisfeita, os resíduos padronizados devem ficar dispersos em torno de zero (sem um padrão definido).

EXEMPLO

     Veja a Tabela 1 onde, além dos dados, está a ordem em que eles foram tomados. As médias de grupos estão no rodapé da tabela e a análise de variância está na Tabela 2. O quadrado médio do resíduo é 7,00. Os resíduos padronizados são obtidos pela fórmula: 

Tabela 1 - Exemplo de independência

        

                   Tabela 2 - Análise de variância (ANOVA)

   Os resíduos padronizados dos dados apresentados na Tabela 1 estão na Tabela 3. Verifique que são os valores apresentados no diagrama de dispersão da Figura 1. 

             Tabela 3 - Resíduos padronizados

             Figura 1 - Exemplo de independência dos erros 

                                                EXEMPLO

Se os resíduos tiverem clara correlação com a ordem de tomada dos dados como é o caso do exemplo apresentado na Figura 2, não se pode pressupor independência.

Figura 2 - Exemplo de não-independência

    A análise de resíduos é extremamente útil, mas é gráfica. Isto significa que não se pode associar um nível de probabilidade à conclusão de que os erros não são independentes. Mas a pressuposição de independência pode ser transformada em hipótese e essa hipótese pode ser colocada em teste. Quando existe forte suspeita de não independência (de que, por exemplo, um aumento dos valores está correlacionado com a ordem em as observações foram feitas), pode-se aplicar um teste estatístico como, por exemplo, o teste de Durbin Watson.

                         
            Referências:

             1.    SCHEFFÉ, H. The analysis of variance. New York :

                   Wiley, 1959.

              2.  Does your data violate one –way ANOVA assumptions?

                          https://quality-control-plan.com/StatGuide/oneway_anova_ass_viol.htm