Soma de desvios padrões????

Uma doutoranda da Unicamp que não conheço me apontou gentilmente, por e-mail, o que ela considerou um “pequeno erro de cálculo” em meu livro, Análise de variância: o resultado do coeficiente de variação (CV), que consta na página 47, estaria errado. Claro, busquei rapidamente o texto e me pus na frente do computador.

Mas vamos ao que está no livro: é dado um exemplo fictício de experimento com dois tratamentos, A e B, e cinco repetições por tratamento. Os dados são poucos porque têm a finalidade única de mostrar como se fazem os cálculos. Veja a tabela de dados e a tabela de análise de variância.

Em qualidade, não é usual proceder a uma análise de variância. Calculam-se médias, desvios padrões, gráficos de controle. Então a doutoranda, que é da área de qualidade, calculou como sempre fez as médias e os desvios padrões do exemplo dado. Obteve:

Está tudo bem até aqui. Mas depois, estudando no meu livro Análise de variância, a doutoranda leu: Pode existir interesse em relacionar o desvio padrão com a média, para se ter ideia da grandeza da dispersão em relação à grandeza da média. Por definição, coeficiente de variação, que se indica por CV, é a razão entre o desvio padrão e a média dos dados, isto é

Havia, também, esta informação: na análise de variância, o desvio padrão é dado pela raiz quadrada do quadrado médio do resíduo. Reconheço que o que está escrito no livro não é suficiente para esclarecer um aluno. De qualquer forma, ali está apresentado o valor correto para do coeficiente de variação para o exemplo dado acima:

Mas vamos aos fatos. A análise de variância não é técnica comum entre pesquisadores da área de qualidade. Então a doutoranda NÃO tinha o cálculo do quadrado médio do resíduo (QMR). O coeficiente de variação foi calculado fazendo a média das médias e a média dos desvios padrões, com base nos resultados apresentados na tabela de médias e desvios padrões. Está errado:

 Para explicar isso, resolvi recorrer ao Dr. Math (Doctor Schwa, The Math Forum http://mathforum.org/dr.math/) e apresentar um pouco de matemática.

       Vamos voltar ao coeficiente de variação. Na tabela de médias e desvios padrões apresentada acima, deveriam ter sido apresentadas as variâncias de cada grupo, além de médias e os desvios padrões.

 

Demorei muito para entender que a fórmula, como está na definição dada em meu livro, Análise de variância, e é a comumente apresentada nos livros didáticos de estatística, pode levar a erro. No livro está escrito:

Por definição, coeficiente de variação, que se indica por CV, é a razão entre o desvio padrão e a média dos dados, isto é

A fórmula está correta desde que em análise haja uma única variável em um só grupo. Nos experimentos ou ensaios completamente randômicos, uma variável é observada em k grupos. Se for calculada a média e o desvio padrão de cada grupo, o coeficiente de variação (geral) será dado pela divisão da raiz quadrada do quadrado médio do resíduo da análise de variância pela média geral. O quadrado médio do resíduo (QMR), desde que todos os grupos tenham r repetições, é

      em que SQR é a soma de quadrados do resíduo, dada por

        Verifique que

  

          é a variância do i-ésimo tratamento e o QMR é a média das variâncias de cada grupo.

 Procure o livro em http://www.saraiva.com.br/analise-de-variancia-anova-1100479.html