Teste de Scheffé para comparação de médias

Feita a análise de variância, se o valor do teste F resultou significante (isto é, se você rejeitou a hipótese de que as médias são iguais) pode aplicar o teste de Scheffé para comparar contrastes de médias. Então, antes de aprender como se faz o teste de Scheffé, é preciso saber o que é contraste de médias.

De maneira simples, um contraste de médias é uma função linear de médias em que a soma algébrica de seus coeficientes é igual a zero. Por exemplo, sejam três as médias de grupos que o pesquisador quer comparar. A função

é um contraste de médias porque é uma função linear de médias e a soma dos coeficientes das médias 1 + 1 - 2 = 0. Se substituirmos os parâmetros pelas estimativas, temos a estimativa do contraste

com variância 

Em uma análise de variância, a estimativa da variância é dada pelo quadrado médio do resíduo. Se os grupos em comparação (no exemplo são três) tiverem o mesmo número de repetições, isto é, se

a estimativa de variância da estimativa do contrate do exemplo é:

Generalizando, qualquer combinação linear de estimativas de médias

é um contraste se

Para fazer uma análise de variância, é preciso pressupor que as variâncias são constantes e estimadas pelo quadrado médio do resíduo. Se o número de repetições por grupo for o mesmo, a variância do contraste de médias L é estimada por

Para verificar se um contraste de médias é estatisticamente significante em determinado nível, usando o teste de Scheffé, é preciso calcular:

em que k é o número de grupos em comparação, V(L) é a estimativa da variância do contraste de interesse do pesquisador e F é o valor dado na Tabela de F, com (k-1) graus de liberdade no numerador e o número de graus de liberdade do resíduo no denominador. Toda vez que um contraste L de médias for maior do que o respectivo valor de S, declaramos o contraste significante.

Considere os dados apresentados na Tabela 1. Esses dados foram submetidos à análise de variância apresentada na Tabela 2. O valor de F é significante ao nível de 5%. Logo, há pelo uma média de grupo diferente das demais. As médias estão apresentadas na Tabela 3.

Tabela 1. Dados observados, segundo o grupo

Tabela 2. Análise de variância

Tabela 3. Médias segundo o grupo

Vamos testar a hipótese de que as respostas dos grupos tratados são, em média, maiores do que as respostas do grupo controle, aplicando o teste de Scheffé.

Primeiramente, calculamos o contraste de médias:

Depois, calculamos a variância do contraste:

Considerando o nível de significância de 5%, tem-se que o valor crítico de F, com 5 graus de liberdade para grupos e 24 graus de liberdade no resíduo é 2,62. Então:

Como o valor do contraste de interesse calculado com as médias obtidas no experimento é maior que o valor calculado pelo teste de Scheffé, conclui-se que as respostas obtidas dos grupos tratados são, em média, maiores que as respostas do grupo controle.