Repetir
a medição é a melhor maneira de avaliar a incerteza do resultado, desde que estejamos confiantes de que
os erros sistemáticos foram minimizados. Se
possível, repetimos as medições no mesmo mensurando em iguais condições muitas vezes, que indicaremos por n. Aplicamos depois técnicas estatísticas
para avaliar a incerteza.
Para
entender a lógica dessa avaliação, vamos usar um exemplo clássico:
a medição de tempo com um cronômetro. Isto porque o tempo de reação
da pessoa que liga e desliga um cronômetro é aleatório e é, de longe, o fator
que mais afeta o erro da medição do tempo.
Imagine então que você tomou nas mãos um cronômetro para medir o período de oscilação de um
pêndulo1. Você fez n = 5 medições. Os resultados, em
segundos, foram:
3,9;
3,5; 3,7; 3,4; 3,5.
A melhor estimativa para o período de oscilação do
pêndulo é a média aritmética dos n =
5 resultados que você obteve:
Como
temos repetições, podemos estimar também os erros de medição, que são aleatórios, uma vez que os erros sistemáticos foram minimizados. Observe os desvios de cada medida em relação à média, apresentados na tabela abaixo. São estimativas dos erros aleatórios.
Medidas do período de oscilação do pêndulo e desvios em relação à média, segundo a ordem da medição
Os resultados das medições estão dispersos em torno da média,
de maneira aleatória. Mas precisamos julgar o grau de dispersão desses valores,
para avaliar a incerteza da medição. Alguém poderia sugerir usar a média dos desvios em relação à média como medida de dispersão. Mas veja:
A média
dos desvios é igual a zero porque os desvios com sinal negativo cancelam os desvios com sinal positivo. Como lidar com os sinais negativos?
Basta elevar os desvios ao quadrado. Todos os números se tornam positivos.
Você então calcula a média desses valores e extrai a raiz quadrada do resultado. Obtém, assim,
a fórmula do famoso desvio padrão:
Mas essa
fórmula é indicada para calcular o desvio
padrão quando se considera a "população" das medições, ou seja, um conjunto infinito de medições do mesmo mensurando, feitas nas mesmas condições. No entanto, você dispõe de apenas cinco medições do período de oscilação do pêndulo, ou seja, uma pequena amostra do total de medições possíveis.
Para calcular o desvio padrão de uma amostra, que é indicado por s, aplique a fórmula:
Você
calcula facilmente o desvio padrão de qualquer amostra usando a função
desvpad.A no Excel. Mas veja os
cálculos intermediários para obter o desvio padrão na tabela dada em seguida.
Cálculos intermediários para obtenção do desvio padrão da amostra em estudo
Sistematizando: para obter o desvio padrão de uma amostra de n medições:
1. Some
todos os resultados e divida por n, para obter a média aritmética.
2. Subtraia
a média de todos os resultados, para obter os n desvios em relação à média.
3. Eleve os n desvios ao quadrado e some.
4. Divida
essa soma por n - 1.
5.
Extraia a raiz quadrada.
É comum escrever a formula do
desvio padrão como segue:
A fórmula (3) é aparentemente mais difícil do que a fórmula
(2), mas na realidade é mais fácil de aplicar. Veja os cálculos intermediários
na tabela abaixo.
Cálculos intermediários para obtenção do desvio padrão
Quando
se apresenta a fórmula do desvio padrão para uma amostra, surge frequentemente
a pergunta: por que dividir a soma dos quadrados dos desvios por e não por ?
Embora existam demonstrações teóricas que comprovem a necessidade dessa
correção, há também uma explicação intuitiva.
Considere
um experimento em que só seja possível realizar uma única medição. Por exemplo,
imagine que você utiliza um cronômetro para medir o tempo de queima de uma
vela. Nesse caso, o valor obtido será a melhor estimativa para o tempo de
queima, sendo, portanto, a média. No entanto, não há como estimar a dispersão
dos desvios em relação à média.
A
fórmula para o cálculo do desvio padrão deixa isso claro: se n=1, então n−1=0.
Dividir por zero torna impossível calcular a dispersão dos desvios. É aqui que
entra o ajuste
O desvio padrão é uma medida da dispersão dos resultados das medições.
Para visualizar que o desvio padrão mede a dispersão, é melhor ver um exemplo. Imagine
então que dois amigos seus resolveram medir, também, o tempo de oscilação do
mesmo pêndulo. O Amigo Nº 1 obteve
3,7;
3,6; 3,9; 3,5; 3,3
O Amigo
Nº 2 obteve
4,0;
3,5; 3,7; 3,2; 3,6
As
médias e os desvios padrões, para os três, você e seus amigos 1 e 2, estão na
tabela dada em seguida. Os resultados das medições estão apresentados em
gráfico, logo abaixo e permitem melhor visualização da dispersão. Note que quanto
maior é a dispersão, maior é o desvio padrão.
Médias e desvios padrões para as três séries de medições
Distribuição das três séries de medições
A
avaliação tipo A da incerteza da medição, que usa o desvio padrão em seu
cálculo, será tratada em outra postagem.
1. Calcule a média e o desvio
padrão do resultado de cinco medições de uma peça, que
forneceu os seguintes valores, em milímetros:
200,1;
200,5; 200,3; 200,2; 200,4.
2.
Foram enviadas oito amostras de um mesmo produto que continha
10,5% de K2O para oito laboratórios diferentes. Cada
laboratório fez uma determinação da porcentagem de K2O no
produto. Calcule a média e a desvio padrão. As determinações são dadas em
seguida.
10,8; 11,2; 10,5;
11,0; 10,9; 11,1; 10,8; 10,7.
3. Para
estabelecer a capacidade de perfuração de uma perfuradora hidráulica em
estruturas rochosas, foi feito um experimento. Tomaram-se medidas da
profundidade (em polegadas) da perfuração feita em 10 locais. Os dados estão na
tabela dada abaixo. Calcule a média e a desvio padrão.
Resultados do experimento para medir a capacidade de
perfuração de uma perfuradora hidráulica
Distribuição das três séries de medições
