Regressão Múltipla Usando SPSS: Interprete os Resultados Como Especialista

Você rodou uma regressão linear múltipla no SPSS e… foi recebido com uma avalanche de tabelas? Calma, isso é mais comum do que parece — mas a boa notícia é que você não precisa se perder nos números.

Neste post, vamos direto ao ponto e te mostrar as três tabelas mais importantes da saída do SPSS que todo mundo que analisa regressão múltipla precisa entender. Com explicações claras e exemplo prático, você vai aprender a interpretar os valores de R, R², ANOVA e os coeficientes como um especialista — mesmo que esteja começando agora.

Resumo do Modelo

Para proceder ao cálculo da regressão linear múltipla, vamos utilizar o exemplo dado na postagem anterior (Regressão linear múltipla no SPSS). Os dados estão repetidos na tabela apresentada abaixo.

Com esses dados, obtivemos a primeira tabela de interesse, isto é, a tabela Resumo do Modelo. Esta tabela fornece R, R², R² ajustado e o erro padrão da estimativa, que pode ser usado para determinar quão bem um modelo de regressão se ajusta aos dados.

O valor R é o coeficiente de correlação múltipla. É uma medida da qualidade da previsão da variável dependente, que neste exemplo é o peso da criança, (WGT), dado em libras. Um valor de 0,883 indica bom nível de previsão.

 O valor R² é o coeficiente de determinação. É a proporção de variação na variável dependente explicada pelas variáveis ​​independentes. O valor R² = 0,780 mostra que as variáveis ​​independentes explicam 78,0% da variação da variável dependente, WGT (peso). Você também precisa saber interpretar "R² ajustado", mas vamos explicar isso em próxima postagem.

              Tabela de análise de variância (ANOVA)

A segunda tabela de interesse é a tabela de análise de variância, ou tabela de ANOVA (do inglês, ANOVA table), mostrada em seguida. 

O teste F (indicado como "Z" na tabela ANOVA) avalia o ajuste do modelo de regressão. A tabela mostra que as variáveis independentes (AGE e HGT) predizem significativamente a variável dependente (WGT), já que p < 0,05. Em outras palavras, o modelo de regressão se ajusta bem aos dados.

Coeficientes de regressão

A terceira tabela de interesse é aquela que apresenta os coeficientes de regressão. Veja em seguida.

Coeficientes não padronizados indicam quanto a variável dependente varia com cada variável independente, mantendo-se as demais  constantes. Considere o efeito da idade, neste exemplo: o coeficiente não padronizado para idade (AGE) é igual a 2,050. Isso significa que, para cada aumento de um ano na idade, espera-se um aumento de 2,050 libras no peso (WGT) (lembre-se de que peso está medido em libras).

O teste t, apresentado na tabela, testa se os coeficientes (padronizados ou não) são iguais a zero na população. Se p < 0,05, conclui-se que os coeficientes são significantemente diferentes de zero. Os valores do teste  t e seus respectivos valores p  estão localizados nas colunas "t" e "Sig", respectivamente. Observe que o coeficiente de altura (HGT) é significante.

                                               Conclusão

Foi ajustada uma regressão linear múltipla para prever o peso em função da altura e da idade de crianças. Obteve-se:

         

✅ Apenas a variável altura (HGT) foi significativa ao nível de 5%. A variável idade (AGE), com p = 0,056, pode ser considerada significativa em um nível próximo ao convencional de 5%. Veja a figura na abertura deste post.

Observação

A amostra é muito pequena e composta por dados fictícios. Portanto, as conclusões não são válidas na prática. Este exemplo foi utilizado apenas para facilitar os cálculos e fornecer uma referência importante ao leitor (KLEINBAUM e KUPPER). Os dados não foram convertidos para o sistema métrico decimal porque resultariam em valores não inteiros, o que dificultaria a digitação.

Ajuste Sua Primeira Regressão Linear Mltipla no SPSS

                                                 Análise de regressão

A análise de regressão permite estabelecer um modelo para descrever a relação entre duas ou mais variáveis. Trata-se de uma técnica que possibilita fazer previsões sobre uma variável – chamada variável resposta (dependente) – com base em informações obtidas de outras variáveis – conhecidas como  variáveis explicativas (também chamadas de explanatórias, preditoras ou independentes).

Regressão linear simples

A regressão linear simples é denominada “linear” porque o modelo ajustado é uma reta, e “simples” porque há apenas uma variável explicativa. A regressão linear simples é definida pelo modelo:

 

Nesse modelo, os pares de variáveis Y_i e X_i (i=1, 2, ..., n) representam a variável resposta e a variável explicativa, respectivamente; b₀ e b₁ são parâmetros a serem estimados a partir dos dados e e_ij  (i=1, 2, ..., n) são erros aleatórios.

Por exemplo, ao analisar um conjunto de dados de peso e altura de jovens que se apresentaram para o serviço militar, pode-se supor que peso seja função linear da altura. Ajustando uma reta a esses dados, obtém-se as estimativas b₀ e b₁ dos parâmetros b₀ e b₁ da regressão.

 O termo b₀ é o coeficiente linear, também conhecido como intercepto (intercept, em inglês) e o termo b₁ é o coeficiente angular, também conhecido como inclinação (slope, em inglês). A reta ajustada aos dados, considerada a melhor, no sentido de possuir propriedades estatísticas desejáveis, é chamada de reta de regressão. Muitos autores também a denominam reta de mínimos quadrados, em referência ao método estatístico utilizado para calcular as estimativas.

Regressão linear múltipla

A regressão linear múltipla (multiple linear regression) é uma técnica estatística que usa diversas variáveis ​​explicativas para prever a variável resposta. Logo, a regressão linear múltipla estabelece o modelo para uma relação linear entre a variável resposta (dependente) e diversas variáveis ​​explicativas (independentes).

Nessa fórmula, Y_i (i =1, 2,...,n) são as n observações da variável resposta (dependente) e X_i1, X_i2,...,X_ik  são as n observações das k variáveis explicativas (independentes). O coeficiente b₀ é o intercepto e b₁, b₂,..., b_k  são os coeficientes angulares correspondentes a cada variável explicativa. Os termos e_i são os erros do modelo.

Para ajustar um modelo de regressão linear múltipla, algumas pressuposições deve ser atendidas.

Pressuposições

🔸A variável resposta (dependente) deve ser contínua.

🔸Deve haver uma relação linear entre a variável resposta e cada uma das variáveis explicativas.

🔸As observações das variáveis explicativas devem ser independentes entre si.

🔸Os desvios devem ter distribuição normal de média zero e variância s².

Vamos mostrar, por meio de um exemplo, como ajustar uma regressão linear múltipla a um conjunto de dados utilizando o SPSS (Statistical Package for Social Sciences). Em outra postagem, explicaremos como interpretar os resultados.

                                                                  Exemplo

Considere uma amostra aleatória de 12 crianças atendidas em uma clínica. O peso, a altura e a idade dessas crianças estão apresentados abaixo, já formados para inserção no SPSS. O peso (weight) está em libras, a altura (height) em pés e a idade (age) em anos completos. Nosso objetivo é estudar o peso em função da altura e da idade.         

                  Como realizar a análise de regressão linear múltipla no SPSS

As etapas dadas em seguida mostram como realizar a análise de regressão linear múltipla no SPSS, supondo que todas as pressuposições do modelo foram atendidas. Ao final, exibiremos os resultados da regressão. 

🔸   No menu principal do SPSS, clique em Analisar > Regressão > Linear.

🔸  Você será apresentado à caixa de diálogo.

🔸 Transfira a variável dependente peso (WGT) para a caixa “Dependente” e as variáveis independentes altura (HGT) e idade (AGE) para a caixa “Independente” utilizando o botão de transferência apropriado.

🔸  Clique em Estatísticas. Na caixa de diálogo que se abrirá, selecione as opções Estimativas e Ajuste do Modelo.

   🔸 Clique em Continuar para retornar à caixa de diálogo principal da Regressão linear. 

       🔸 Clique em OK. Será gerada a Saída, com os resultados. 

✅ Saída dos Resultados

Estudos ao longo do tempo

 Estudos longitudinais ou prospectivos fazem medições repetidas das mesmas pessoas ao longo do tempo, enquanto estudos transversais coletam dados em apenas determinado momento. Os estudos longitudinais são mais informativos, mas têm limitações. A maior dificuldade está na perda de observações. Nem todos os participantes de pesquisa estão presentes em todas as sessões que foram inicialmente planejadas na pesquisa.

Ocorrem muitas desistências, principalmente nos estudos longitudinais de longa duração. Desistências prejudicam os resultados. Participantes que permanecem até o final do estudo podem ser diferentes daqueles que se retiram em diferentes momentos. Também ocorrem perdas mesmo quando não há desistências. Se as pessoas puderem faltar em uma ou mais sessões, o número de participações de cada uma pode variar ao longo do estudo. Ainda, as medições podem não ficar igualmente espaçadas porque nem todos os participantes têm tempo disponível na mesma ocasião.

As dificuldades para análise não param, porém, por aqui. Existe correlação entre medidas sucessivas tomadas na mesma pessoa. A análise estatística precisa, portanto, considerar a auto correlação dos resíduos, para que as conclusões não fiquem prejudicadas. Mas além da correlação que aparece devido às medidas feitas repetidamente nas mesmas pessoas, há, ainda, a correlação explicada pelo agrupamento de pessoas em escolas, clínicas, hospitais, cidades. Embora a correlação produzida pelo agrupamento seja bem menor do que aquela produzida pela repetição de medidas no mesmo participante, ainda assim pode levar a subestimação da variância, se o efeito do agrupamento não for levado em conta na análise.

De qualquer modo, estudos longitudinais são comuns na literatura. No entanto, os procedimentos estatísticos para a análise desse tipo de estudo não aumentaram na mesma velocidade. Algumas maneiras de tratar os dados, que deveriam ter apenas interesse histórico, continuam na prática e métodos que apenas reduzem estudos longitudinais a estudos transversais também continuam em uso.

Algumas vezes, é feita uma “análise completa” (complete analysis), isto é, uma análise em que são considerados somente dados de participantes que completaram o estudo. Na maioria das vezes, porém, a amostra analisada é diferente da amostra de participantes que iniciaram o estudo. Se apenas participantes cooperativos completarem o estudo, os resultados podem ser tendenciosos.   

Outra maneira de contornar o problema é considerar que medidas que seriam obtidas depois de o participante deixar de comparecer seriam iguais à medida feita em sua última visita. Essa abordagem é denominada “última observação levada adiante” (last observation carried forward - LOCF). Assumimos assim que, uma vez que o participante abandonou o estudo, seu nível de resposta permanecerá inalterado por longo tempo. Mas não há lógica em acreditar nisso. No entanto, a abordagem LOCF continua a ser usada porque é conservadora. Uma crítica ao uso da LOCF é a de que ela pode dar a falsa impressão de que essa é a forma adequada de contornar ao problema dos dados perdidos. Então os pesquisadores podem deixar de se preocupar com a falta de adesão à pesquisa científica e deixar de trabalhar contra isso. E, ainda, cumpre lembrar que uma medida da qualidade do trabalho clínico é o número de participantes que se apresentaram em todas as visitas.

 Na análise de dados longitudinais também é aplicada uma ANOVA de modelo misto, ou seja, uma análise de variância em que cada participante da pesquisa é tomado como um critério de classificação de efeitos aleatórios. Esse tipo de análise é muitas vezes identificado como ANOVA para medidas repetidas. Aqui, a pressuposição implícita é a de que a variação entre indivíduos é constante ao longo do tempo. No entanto, parece mais razoável considerar que a variação entre indivíduos mude ao longo do tempo. Considerando essa observação como limitação, a ANOVA para medidas repetidas não deveria ser usada para análise de dados longitudinais.

Foram desenvolvidas algumas abordagens mais rigorosas para tratar dados longitudinais, com suposições mais realistas sobre o processo de resposta longitudinal e com procedimentos mais adequados para tratar dados perdidos. Entre elas, estão os modelos de equações de estimativa generalizada (GEE). Você pode usar softwares como R e SAS se quiser aplicar GEE em estudos que acompanham pessoas ao longo do tempo.

               VEJA:

 

 

              1.  Laird NM. Missing data in longitudinal studies. Stat Med. 1988; 7:305–15. [PubMed] [Google Scholar]

        2. Gibbons R D,  Hedeker D, DuToit S. Advances in Analysis of Longitudinal  Data.  Annu Rev Clin Psychol. 2010 Apr 27; 6: 79–107.

Regressão linear pela origem: quando forçar o intercepto ao valor zero

 Em análises de regressão, o modelo mais comum inclui um termo de intercepto (constante). No entanto, em situações específicas, somos obrigados a forçar a reta de regressão a passar pela origem do plano cartesiano (ponto (0,0)). Essa decisão pode ser motivada por razões teóricas sólidas ou por evidências empíricas anteriores.

Por que usar um modelo sem intercepto?

Dois exemplos clássicos ilustram essa necessidade:

1.                   Movimento Retilíneo Uniforme: Na Física, se um corpo parte do repouso em uma trajetória retilínea, no instante inicial (tempo zero) a distância percorrida é necessariamente zero. Um modelo que não passe pela origem não faria sentido físico.

2.               Módulo de Young: Na Engenharia de Materiais, o módulo de Young, que mede a rigidez de um material, é definido pela inclinação da curva tensão-deformação no regime elástico. Se não há tensão aplicada, não há deformação. Portanto, a reta que modela esse comportamento deve passar pela origem.

A Figura 1 ilustra essa relação no contexto do módulo de Young.

                                                     Figura 1

Embora a regressão linear simples sem intercepto tenha utilidade em estatística aplicada, é recomendável compará-la com um modelo que inclua o termo de interceptação. A decisão sobre qual modelo utilizar pode ser controversa e depende do contexto da análise.

O Modelo Matemático

Ao impor que a reta passe pela origem, nosso modelo simplifica para:

Onde:

      ·     X é a variável independente.

      ·     Y é a variável dependente.

      ·    b  é o parâmetro (coeficiente angular) que queremos estimar.

      ·    e é o termo de erro aleatório.

         A estimativa de b  é dada pela fórmula:

 

A reta de regressão ajustada é, portanto:

                                                 

Os desvios ou resíduos são dados por

 

Avaliando o Ajuste do Modelo

Uma diferença crucial em relação ao modelo com intercepto é que a soma dos resíduos (Σe_i) não é necessariamente zero. Ao forçar a reta a passar por (0,0), perdemos o grau de liberdade que "ajustava" a altura da reta para minimizar os resíduos.

Para avaliar a qualidade do ajuste, recorremos à análise de variância (ANOVA). Os graus de liberdade são ajustados da seguinte forma:

·      SQ Total: n graus de liberdade.

·      SQ Regressão: k graus de liberdade (onde k=1).

·      SQ Resíduo: n-k graus de liberdade.

As somas de quadrados são dadas pelas fórmulas:

 Podemos, então, construir a tabela de análise de variância (ANOVA) apresentada na Tabela 1. 

Exemplo Prático

Considere os dados da Tabela 2, para os quais vamos ajustar um modelo que passa pela origem. Os resultados da ANOVA estão na Tabela 3.

Logo, a equação da reta de regressão é:

                                

Também podem ser calculados os valores do desvio padrão (s), do coeficiente de determinação (R²) e o valor do teste t para o coeficiente angular b. Veja as fórmulas:

Para os dados do exemplo:

A Figura 2 apresenta os valores observados, os valores obtidos pela reta de regressão e a reta ajustada.

O “output” do Minitab está apresentada em seguida.