Linha de tendência linear passando pela origem

É possível que a regressão linear simples deva obrigatoriamente começar na origem do sistema de eixos cartesianos, por conta de uma experiência prévia ou de teoria. Por exemplo, um corpo em movimento retilíneo uniforme, no tempo zero percorreu uma distância zero. O módulo de Young ou de elasticidade mede a rigidez de um material sólido. É dado pela inclinação da reta que estabelece a relação entre tensão (força por unidade de área) e a deformação de um material no regime de elasticidade linear, como mostra a Figura 1.

A regressão linear simples que passa pela origem é útil na área de estatística aplicada. No entanto, mesmo nos casos em que possa fazer sentido ajustar uma regressão linear simples passando pela origem, recomenda-se comparar o modelo ajustado com o modelo com intercepto diferente de zero.

De qualquer forma, questões de estatística ligadas ao ajuste do modelo são controversas. Prova disso é o resultado diferente que se obtém quando se ajusta a regressão linear simples com intercepto zero a uma amostra de pares de dados usando os programas Minitab, Excel e SPSS: os resultados são diferentes.

De qualquer forma, o modelo da regressão linear simples que deve obrigatoriamente passar pela origem é

Nesse modelo:

 X é a variável independente ou explicativa;

 Y é a variável dependente ou resposta;

 e são erros aleatórios;

 b  é o parâmetro. 

  A estimativa de b é dada por:

  A reta de regressão ajustada é:

  Os desvios ou resíduos são dados por

A soma dos desvios ou resíduos não é zero. Isto acontece porque, forçando a reta de regressão a passar pela origem, não se consegue o melhor ajuste.

Para proceder à análise de variância, calcule:

Observe que, sem a constante, os graus de liberdade para SQ Total, SQ Regressão e SQ Resíduo são n, k e n-k respectivamente, sendo n o número de pares de observações das variáveis X e Y e k o número de variáveis independentes (no caso, k=1). Podemos, então, construir a tabela de anova (análise de variância), como está na Tabela 1.

Veja os dados, X e Y, na Tabela 2, com os cálculos necessários para ajustar uma regressão linear simples passando pela origem. 

Logo, a equação da reta de regressão é:

Também podem ser calculados os valores do desvio padrão (s), do coeficiente de determinação (R²) e o valor do teste t para o coeficiente angular b. Veja as fórmulas:

              Para os dados do exemplo:

Veja a Figura 2, que apresenta os valores observados, os valores obtidos pela reta de regressão e a reta ajustada.

A “saída” do Minitab está apresentada em seguida.