Dígitos significativos

Número é uma contagem ou uma medição que nos remete a uma ideia. Expressamos números por meio de numerais.

Numeral é o símbolo ou o nome que representa um número.

Dígito ou algarismo é um símbolo único usado para compor numerais. Por exemplo, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são os dígitos (ou algarismos) utilizados para formar numerais.

No uso cotidiano, é comum que as pessoas utilizem a palavra "número" como sinônimo de "numeral" — abordagem que será adotada neste texto.           

Medição é o processo de obter experimentalmente o valor numérico de uma grandeza de interesse.

A precisão da medida está relacionada à unidade utilizada na medição. Quanto menor a unidade de medida empregada, maior será a precisão da medida. No entanto, é fundamental trabalhar corretamente com os dígitos significativos registrados nos resultados das medições.

                              Regras para identificar dígitos significativos

             ·        Dígitos diferentes de zero são sempre significativos.
              Exemplo: Em 42,37, há quatro dígitos significativos.

             ·        Zeros entre dígitos significativos são sempre significativos.
             Exemplo: Em 42,307, há cinco dígitos significativos.

              ·    Dígitos significativos são contados a partir do primeiro dígito diferente de zero, da esquerda para a direita.

Exemplo: Em 0,004237, há quatro dígitos significativos. O primeiro dígito significativo é “4”. Os zeros à esquerda não são considerados significativos.

      Dígito mais significativo e dígito menos significativo

          ·   O dígito mais significativo é o primeiro dígito significativo de um número.

           · O dígito menos significativo é o último dígito de um número, dependendo do contexto:

           ·    Para números decimais: é o dígito mais à direita, incluindo zeros finais.

  Exemplo: Em 0,0042370, o dígito mais significativo é   “4” e o menos significativo é o último “0”. Em notação científica, ao escrever 4,2370×10−34,2370, o   último zero continua sendo o menos significativo.

             ·    Para números inteiros: o último dígito diferente de zero é                                                 o menos significativo.
                      Exemplo: Em 1250, o dígito menos significativo é “5”.

 Dígitos Significativos nos Cálculos

Os resultados das medições são frequentemente utilizados em cálculos, cuja precisão é limitada pela exatidão das medidas feitas.

                                       Soma e Subtração

Na soma e subtração, a precisão do resultado é determinada pela medida de menor precisão, ou seja, aquela com o menor número de casas decimais (e não pelo menor número de dígitos significativos).

                                                  Exemplo

Considere as seguintes medidas:

·  15 m

·  3,125 m

·  2,08 m

A soma dos números é

             15+3,125+2,08=20,20515

No entanto, o resultado deve ser reportado como 20 m, respeitando a precisão da medida menos precisa (15 m, que tem zero casas decimais).

                                         Multiplicação e Divisão

Na multiplicação e divisão, o número de dígitos significativos do resultado deve ser igual ao número de dígitos significativos da medida com o menor número de dígitos significativos.

                                                Exemplo

Para determinar a densidade de um material:

·      Massa: 25,324 g (5 dígitos significativos)

·      Volume: 25 ml (2 dígitos significativos)

A densidade é calculada como:

                        25,324 / 25 = 1,01296 g/ml

O resultado, porém, deve ser reportado como 1,0 g/ml, respeitando os 2 dígitos significativos da medida com menor precisão (25 ml).

                             Perda de Dígitos Significativos

Dígitos significativos podem ser “perdidos” durante os cálculos.

                                              Exemplo

Se você tinha R$120,00 e fez uma compra de R$119,99, o troco é:

120,00−119,99 = 0,011 = 0,01

O troco tem apenas 1 dígito significativo, embora os valores originais possuam 5 dígitos significativos.

                                   Números Exatos

Números exatos, como quantidades definidas, números puros e fatores de conversão, não são considerados na determinação do número de dígitos significativos do resultado.

                                               Exemplo

As notas de três alunos em uma prova são:

·     4,5

·     8,9

·     6,8

A média é calculada como:

                           4,5+8,9+6,83=6,7333...

O resultado deve ser arredondado para 6,7, de acordo com a menor precisão das medidas originais.

---

                             Arredondamento de Números

Arredondar um número consiste em reduzir seus dígitos ao número de dígitos significativos garantido pelo cálculo. O método usual é:

·        Se o primeiro dígito que será cortado for menor que 5, apenas elimine os dígitos adicionais.

·        Se o primeiro dígito que será cortado for maior que 5, aumente o dígito anterior em uma unidade.

·        Se o primeiro dígito que será cortado for 5, verifique o dígito anterior:

             o   Se for par, apenas elimine os dígitos adicionais.

             o   Se for ímpar, aumente o dígito anterior em uma unidade.

                                                                  Exemplos 

Na subtração 7,793 g – 6,25 g, o cálculo resultaria em 1,543 g. Esse valor deve ser arredondado para 1,54 g.

 

Na subtração 7,799 g – 6,25 g, o cálculo resultaria em 1,549 g. Esse valor deve ser arredondado para 1,55 g.

 

Na subtração 7,795 g – 6,25 g, o cálculo resultaria em 1,545 g. Esse valor deve ser arredondado para 1,54 g.

 

Na subtração 7,795 g – 6,26 g, o cálculo resultaria em 1,535 g. Esse valor deve ser arredondado para 1,54 g. 

Relatando incerteza tipo B na medição

📌Quando você relata a medida de uma grandeza física, deve escrevê-la assim:

                                (X ± ∆X) unidade de medida

Nessa notação:
                            X é a melhor estimativa da medida;
                           ∆X é a incerteza associada.

Isso significa que, se a mesma grandeza for medida novamente, nas mesmas condições, o novo valor provavelmente estará dentro do intervalo:
                             (X – ∆X) a (X + ∆X)

Incerteza Tipo B

Você tem uma estimativa tipo B da incerteza quando não utiliza análise estatística de medições repetidas. Em vez disso, baseia-se em outras fontes, como:

🔺 Certificados de calibração ou referência;
🔺 Manuais do fabricante e especificações técnicas;
🔺 Experiência anterior e bom senso técnico.

Influência da Resolução do Instrumento

📌A incerteza de uma única medição nunca pode ser menor que a resolução do instrumento, ou seja, o menor valor que ele consegue indicar.

Exemplo

Uma fita métrica graduada de centímetro em centímetro tem resolução de 1 cm.

No entanto, outros fatores também influenciam a medição

🔺 a habilidade do operador

🔺 a calibração do aparelho

🔺as condições do ambiente. 

 Por isso, ao estimar incerteza tipo B, use seu bom senso técnico, consulte o fabricante, confirme a calibração e leve em conta sua própria experiência.

Instrumentos com Escalas Analógicas

📌Quando o instrumento tem uma escala analógica (como réguas, termômetros de mercúrio, etc.), a incerteza da medida costuma ser metade da menor divisão da escala — desde que seja possível visualizar essa divisão claramente.

Exemplo

Ao medir a largura de uma folha de papel com régua graduada em milímetros, você lê 15,8 cm.
Como a menor divisão da régua é 1 mm (ou 0,1 cm), a incerteza é metade disso: 0,05 cm.
Resultado final: (15,8 ± 0,05) cm

Instrumentos Digitais

📌Instrumentos digitais também têm incertezas. Uma prática comum é considerar o erro como ±1 unidade no último dígito exibido, exceto se o fabricante informar de outro modo.

Exemplo

Uma balança digital exibe 90,8 kg.
O erro é ±0,1 kg (porque o último dígito é o décimo de quilo).
Resultado final: (90,8 ± 0,1) kg

Uma Regra Prática (mas com cautela)

📌Uma forma muito usada para estimar incerteza em uma única medição é dividir por dois o menor valor que o instrumento pode indicar.

Exemplo

Uma balança com precisão de 0,1 g sugere uma incerteza de 0,05 g.
Resultado: (massa ± 0,05 g)

O Último Dígito da Medida

📌Sempre há incerteza associada ao último dígito de qualquer medição. E essa incerteza deve ser expressa com clareza.

Exemplo

(5,07 ± 0,02) g → significa que o valor verdadeiro está entre 5,05 g e 5,09 g 

📌Para Saber Mais

1. International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology (VIM)
2. ISO – International Organization for Standardization
3. “Uncertainty, Precision and Accuracy” – http://climatica.org.uk/climate-science-information/uncertainty
4. Automotive Industry Action Group – http://www.aiag.org/scriptcontent/index.cfm
5. Rick Hogan – “Type A and Type B Uncertainty” – https://www.isobudgets.com/type-a-and-type-b-uncertainty/

A curva do sino e os erros das medições: conhecendo a distribuição normal

    

O conhecimento do mundo em que vivemos é obtido por meio de experimentos e medições. Mas já sabemos que não é possível obter resultados exatos quando medimos. Também sabemos que é preciso minimizar erros e indicar o grau de incerteza dos resultados das medições. Para que as medidas tenham significado, devemos escrever:

                                                         X ± ΔX,

em que X é nossa melhor estimativa da medida e ΔX é a incerteza associada ao resultado.

Ficamos assim conscientes de que, se fizermos novas medições, é bastante provável que os novos valores caiam no intervalo X ± ΔX.

Não há como zerar os erros das medições. No entanto, a distribuição dos erros tem uma aparência típica. Conta a história que os assistentes de Gauss, o grande matemático e astrônomo do século XIX, estavam tomando algumas medidas, mas não eram capazes de obter o mesmo esultado, em medições repetidas. Gauss ficou muito zangado e começou a gritar, dizendo que iria mostrar àquela gente que quem sabe medir obtém repetidamente o mesmo valor, todas as vezes. Só que ele não conseguiu fazer isso.

Mas Gauss era gênio. Desenhou um histograma e percebeu que o desenho tinha o aspecto de uma curva muito conhecida, a “curva do sino”, que depois passou a ser conhecida como a lei gaussiana dos erros. Os estatísticos em geral se referem à “curva do sino” como distribuição normal, mas os físicos preferem a denominação distribuição de Gauss. Vamos então entender a distribuição normal, por meio de um exemplo.

EXEMPLO

Com um cronômetro na mão para medir o período de oscilação de um pêndulo, você faz n = 20 medições. Os resultados estão na tabela dada em seguida.

Leituras do período de oscilação de um pêndulo, em segundos

A média aritmética das 20 medidas é:                                                                                      

A média aritmética das n = 20 medidas é a melhor estimativa para o período de oscilação. Os desvios da média, apresentados na tabela abaixo, estimam os erros de medida. 

         Desvios da média das leituras do período de oscilação de um pêndulo, em segundos       

Os desvios da média estão organizados em uma tabela de frequências.

Tabela de distribuição de frequências

Histograma para os desvios da média das leituras 

O que mostra o exemplo? Que desvios ocorrem ao acaso, às vezes maiores, às vezes menores, às vezes positivos, às vezes negativos, mas distribuídos em torno da média aritmética. O grau de dispersão dos desvios em torno da média é dado pelo desvio padrão amostral.

Toda distribuição de frequências é construída com os dados de uma amostra. À medida que aumentamos a amostra, os histogramas que exibem os resultados de erros aleatórios nas medições começam a se assemelhar à distribuição normal, uma distribuição teórica cuja configuração é dada na figura que segue.

Apresentação gráfica da distribuição normal

Vamos estudar um pouco mais a distribuição normal, que tem características bem conhecidas:

·        Graficamente, é uma curva em forma de sino.

·        A média, a mediana e a moda coincidem e estão no centro da distribuição.

·        A curva é simétrica em torno da média. Logo, 50% dos valores são iguais ou maiores que a média e 50% iguais ou menores.

·        A curva abriga 100% da população, ou seja, a área total sob a curva é 1.

A distribuição normal é definida por dois parâmetros:

·        μ (mi): média

·        σ (sigma): desvio padrão

Quando mudamos μ e/ou σ, a configuração da curva muda. Veja a figura abaixo com distribuições normais de mesma média e diferentes desvios padrões.

Apresentação gráfica de distribuições normais:

 mesma média, diferentes desvios padrão

Embora nenhuma distribuição real seja perfeitamente normal, muitas se aproximam. Reveja o histograma que desenhamos. Não parece razoável considerar que se as medições fossem repetidas muitas e muitas vezes, teríamos um histograma com aspecto muito similar ao da “curva do sino”? Observe a figura que é dada em seguida.

Histograma (com normal) para os desvios da média das leituras 

 

Na prática: se você tem muitas medições de um mesmo mensurando, é bem provável que a média aritmética esteja perto da medida real e os erros distribuam-se normalmente.

Notas:

1.     O uso da distribuição normal para avaliar incerteza é comum, mas há críticas. Veja por exemplo: Hulme e Symms, The Law of Error and the Combination of Observations. Royal Astronomical Society.

2.     Veja a avaliação tipo A de incerteza em outra postagem deste mesmo blog.

Referências:

1.     ISO International Organization for Standardization

2.     Physics Laboratory Tutorial: Error Analysis - Columbia

3.  http://reference.wolfram.com/applications/eda/ExperimentalErrorsAndErrorAnalysis.html

4.  http://physics.wustl.edu/introphys/Phys117_118/Lab_Manual/Tutorials/ErrorAnalysisTutorial.pdf

5.     http://teacher.nsrl.rochester.edu/phylabs/AppendixB/AppendixB.html

A incerteza dos resultados das medições medida pelo desvio padrão

Repetir a medição é a melhor maneira de avaliar a incerteza de um resultado, desde que os erros sistemáticos tenham sido minimizados. Sempre que possível, repetimos as medições do mesmo mensurando, nas mesmas condições, várias vezes — ou seja n vezes. Em seguida, aplicamos técnicas estatísticas para estimar a incerteza.

Para entender a lógica dessa avaliação, vamos usar um exemplo clássico: a medição de tempo com um cronômetro. O tempo de reação da pessoa que aciona o cronômetro é aleatório e, de longe, o principal fator de erro na medição do tempo.

Imagine, então, que você está medindo o período de oscilação de um pêndulo. Foram realizadas medições, com os seguintes resultados (em segundos):

                                           3,9;  3,5;  3,7;  3,4;  3,5.

A melhor estimativa para o período de oscilação do pêndulo é a média  desses cinco valores:

Como temos medições repetidas, podemos também estimar os erros de medição, que são aleatórios. Os desvios de cada medida em relação à média são apresentados na tabela abaixo.

Medidas do período de oscilação do pêndulo

e desvios em relação à média

Os resultados mostram dispersão em torno da média, de maneira aleatória. Mas como avaliar o grau de dispersão?

·  A média dos desvios é sempre zero, porque os desvios negativos cancelam os positivos.

Para contornar isso, elevamos os desvios ao quadrado, tornando-os positivos. Em seguida:

·      Calcula-se a média dos quadrados dos desvios;

·      Extrai-se a raiz quadrada dessa média.

Assim, obtemos o desvio padrão.

Contudo, essa fórmula é adequada para populações infinitas. No caso de uma amostra pequena, como a nossa, o desvio padrão é dado por:

O Excel disponibiliza a função DESVPAD.A para este cálculo. A seguir, os cálculos intermediários:

Cálculos intermediários para obtenção do

desvio padrão da amostra

Passos para calcular o desvio padrão de uma amostra

1.   Some todos os resultados e divida por n, obtendo a média.

2.  Subtraia a média de cada resultado.

3.   Eleve cada desvio ao quadrado e some.

4.  Divida essa soma por n -1.

5.   Extraia a raiz quadrada.

Nota sobre o divisor

Imagine um experimento com apenas uma medição. Não é possível calcular a dispersão, pois dividir por zero é impossível. O ajuste corresponde aos graus de liberdade e corrige essa limitação.

Visualizando a relação entre desvio padrão e dispersão

Dois amigos também mediram o tempo do mesmo pêndulo:

·  Amigo 1: 3,7;  3,6;  3,9;  3,5;  3,3

·  Amigo 2: 4,0;  3,5;  3,7;  3,2;  3,6

As médias e desvios padrões estão resumidos na tabela seguinte:

E representados no gráfico:

 O desvio padrão é uma medida da dispersão ou variação dos dados em torno da média. Em contextos de medição, o desvio padrão quantifica a incerteza associada a uma medida, indicando o grau de dispersão dos valores obtidos em diferentes medições de uma mesma grandeza. Quanto menor é o desvio padrão, maior é a precisão das medições.

A incerteza tipo A, que usa o desvio padrão, será tema de outra postagem.

Nota: O exemplo do cronômetro foi adaptado de Physics Laboratory Tutorial: Error Analysis — Columbia University.

Exercícios

1.    Calcule a média e o desvio padrão do resultado de cinco medições de uma peça, que forneceu os seguintes valores, em milímetros:

200,1; 200,5; 200,3; 200,2; 200,4.

 2.     Foram enviadas oito amostras de um mesmo produto que continha 10,5% de K₂O para oito laboratórios diferentes. Cada laboratório fez uma determinação da porcentagem de K₂O no produto. Calcule a média e a desvio padrão. As determinações são dadas em seguida.

                  10,8; 11,2; 10,5; 11,0; 10,9; 11,1; 10,8; 10,7.

 3.  Para estabelecer a capacidade de perfuração de uma perfuradora hidráulica em estruturas rochosas, foi feito um experimento. Tomaram-se medidas da profundidade (em polegadas) da perfuração feita em 10 locais. Os dados estão na tabela dada abaixo.  Calcule a média e a desvio padrão.

                         Resultados do experimento para medir a capacidade de                                                                           perfuração de uma perfuradora hidráulica

Respostas aos exercícios