Teste de Student-Newman-Keuls para comparação de médias

O teste Student-Newman-Keuls (SNK) e o teste de Tukey (HSD) são métodos post-hoc para a comparação de médias após uma ANOVA. Ambos se baseiam na distribuição da amplitude estudentizada q. A principal vantagem do SNK sobre o Tukey é ter maior poder estatístico.

 

Isto acontece porque o SNK é um teste passo a passo (stepwise). As médias são ordenadas e comparadas passo a passo, começando pela maior e pela menor. O valor crítico diminui à medida que diminui o número de médias entre os grupos em comparação.  Por isso, o SNK é mais poderoso que o Tukey em certas situações. Mas qual é a explicação?

 

Tukey x SNK: qual é a diferença? 

 O teste de Tukey usa um único valor crítico para todas as comparações.

🔸 O teste SNK, por sua vez, é um teste stepwise (passo a passo) e usa valores críticos diferentes, que diminuem conforme as médias comparadas estão mais próximas na lista ordenada.

👉 Por isso, o SNK costuma ter maior poder estatístico, ou seja, maior chance de detectar diferenças reais quando elas existem.

Procedimento para os testes

Imagine que você tem quatro grupos (k = 4) com médias já ordenadas:

$$$$

O teste de Tukey compara todas as médias duas a duas, sempre com o mesmo valor crítico.  Já o teste SNK:

·        Ordena as médias

·        Compara a maior média com a menor (m = 4)

·        Depois, compara pares com uma média intermediária entre elas (m = 3)

·        E por fim, compara médias consecutivas (m = 2).

Veja o esquema:

O valor crítico diminui com o número de médias (m) que ficam entre as médias em comparação. Quanto menor é o valor de m menor, menor é o valor crítico do teste.

 

                               Conservador ou liberal?

A escolha entre os testes depende do compromisso entre rigor e sensibilidade:

🔸  O teste de Tukey é mais conservador, controla melhor o erro Tipo I (falsos positivos).

🔸 O teste SNK é mais liberal; tem, portanto, mais chance de encontrar diferenças reais, mas não controla a taxa de erro do experimento como um todo.

📌 Conclusão:

                    🔸Se o controle do erro Tipo I for prioritário, use o teste de Tukey.

🔸Quando se busca maior sensibilidade, principalmente nas análises exploratórias, use o teste SNK.

📢 Procedimento para o teste SNK

Para cada par de médias a serem comparadas, calcule a diferença mínima significativa ​:

Onde:

$qa,m,GL  é o valor da amplitude estudentizada para o nível de significância α, número m de médias ordenadas entre os grupos e GL graus de liberdade do resíduo da ANOVA;$

${\mathrm{<span\; style="font-family:\; "Times\; New\; Roman";\; font-feature-settings:\; normal;\; font-kerning:\; auto;\; font-optical-sizing:\; auto;\; font-size-adjust:\; none;\; font-stretch:\; normal;\; font-variant-alternates:\; normal;\; font-variant-east-asian:\; normal;\; font-variant-emoji:\; normal;\; font-variant-numeric:\; normal;\; font-variant-position:\; normal;\; font-variation-settings:\; normal;\; line-height:\; normal;"><span\; style="font-family:\; Georgia,\; serif;\; font-size:\; 12pt;\; text-indent:\; -7.05pt;"><br></span></span>}}_{}$

$é$

${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Georgia,\; serif;\; font-size:\; 12pt;\; line-height:\; 150\%;"><span\; style="font-size:\; 12pt;\; text-indent:\; -7.05pt;"><br></span></span>}}_{}$

${\mathrm{<span\; style="font-family:\; Georgia,\; serif;\; font-size:\; 12pt;\; line-height:\; 150\%;"><span\; style="font-size:\; 12pt;\; text-indent:\; -7.05pt;"> </span></span><span\; style="font-family:\; Georgia,\; serif;\; font-size:\; 12pt;\; line-height:\; 150\%;"><span\; style="font-size:\; 12pt;\; text-indent:\; -7.05pt;"><i>r</i>\; é\; o </span><span\; style="font-size:\; 12pt;\; text-indent:\; -7.05pt;">número\; de\; observações\; por\; grupo\; (pressupõe-se\; grupos\; de\; mesmo\; tamanho).</span></span>}}_{}$

$$

Duas médias são consideradas estatisticamente diferentes se a diferença observada entre elas for maior ou igual a .

 📢  Exemplo

$${\mathrm{<o:p></o:p>}}_{}$$

$${}_{}$$

Considere os dados (fictícios) de diminuição da pressão arterial apresentados na Tabela 1. Esses dados foram submetidos à análise de variância, que está apresentada na Tabela 2. Como o valor de F é significante ao nível de 5%, existe pelo menos uma média diferente das demais. As médias amostrais calculadas estão na Tabela 3.

 

Tabela 1 - Diminuição da pressão arterial, em mmHg, 

segundo o grupo

  Tabela 2 - Análise de variância

  

Tabela 3 - Média de diminuição da pressão arterial, em mmHg,

 segundo o grupo

  

Quais são as médias estatisticamente diferentes?  A pergunta pode ser respondida com a aplicação do teste de Student-Newman-Keuls. Para proceder ao teste, é preciso escrever as médias de grupos em ordem crescente (ou decrescente), como mostra a Tabela 4. 

 

Tabela 4 - Média de diminuição da pressão arterial em mmHg,

 na ordem decrescente, segundo o grupo

                     

A lista ordenada de k = 6 médias do nosso exemplo está na Tabela 4. A maior média amostral é 29, do grupo D e a menor é 2, do controle. Vamos calcular a diferença crítica d_m  para comparar essas médias. Então m = 6. Já sabemos, da Tabela 2, que o resíduo da ANOVA tem 24 graus de liberdade e quadrado médio  QMR = 36,00. Na Tabela 1, temos r = 5. O valor de q_a,m é 4,3727. Então

A diferença entre o tratamento D e o controle (29-2=27) é maior do que a diferença crítica 11,733. Então em média o tratamento D determina maior diminuição da pressão arterial que o controle.

 

Vamos calcular a d_m para comparar médias que abrangem m = 5 médias ordenadas médias. 

Então, para comparar as médias de D com B e de A com o controle: a diferença das médias dos grupos D e B (29-8=21) e A e controle (21-2=19) são   maiores do que 11,179. São, portanto, significantes no nível de 5%.

Considerações finais

O teste SNK é mais flexível e sensível que o Tukey em alguns cenários, especialmente com muitos grupos e diferenças graduais entre médias. No entanto, não é ideal quando se busca rigor no controle do erro Tipo I.

🔍 Use com cautela e sempre considere o contexto da pesquisa e os objetivos da análise.

O Teste de Bonferroni Protege as Conclusões nas Comparações de Médias Duas a Duas

As análises de variância (ANOVA) são muito frequentes na literatura científica, sempre seguidas por testes de comparação de médias. No entanto, é comum que os autores não expliquem por que escolheram determinado teste nem mencionem as limitações associadas à escolha. Em muitos trabalhos, o teste utilizado sequer é citado.

Neste post, trataremos das comparações a posteriori (ou não planejadas, unplanned comparisons) de médias duas a duas, utilizando testes paramétricos. Tais testes baseiam-se nas distribuições t, F ou q (amplitude studentizada). Nenhum deles é universalmente superior aos demais — cada um tem seus prós e contras.

O teste LSD de Fisher

O teste mais simples é o LSD de Fisher (least significant difference), que utiliza a distribuição t com os graus de liberdade do quadrado médio do resíduo da ANOVA. É um teste poderoso, mas fixa o erro tipo I por comparação (comparisonwise Type I error rate). Quando usado para múltiplas comparações entre grupos, o erro tipo I global (experimentwise error rate) aumenta rapidamente.

Por isso, Fisher recomendou que o LSD fosse aplicado apenas quando o teste F da ANOVA for significante — o chamado LSD protegido.

Ajuste de Bonferroni

O ajuste de Bonferroni é uma forma simples e conservadora de controlar o erro tipo I global. A ideia é a seguinte: se há m comparações a serem feitas, e se desejamos manter o nível de significância do experimento em α, então devemos aplicar cada teste com um nível de significância α/m.

Exemplo ilustrativo

Considere três grupos: A, B e C. As comparações possíveis são:

·     A × B

·     A × C

·     B × C

Total: m = 3 comparações.

Se o nível de significância do experimento é α = 0,05, então cada comparação deve ser testada com 

                                          αajustado = α/m = 0,05/3 ≈ 0,0167.

Com isso, garantimos que a probabilidade de cometer pelo menos um erro tipo I em todas as comparações será, no máximo, α.

Como aplicar o teste de Bonferroni

1.   Calcule o número total de comparações m=k(k−1)2, onde k é o número de grupos.

2.   Determine o nível ajustado de significância:

3.   Realize os testes duas a duas, usando esse novo nível de significância.

4.   Compare as diferenças entre as médias: considere significativas aquelas cujos valores absolutos ultrapassarem o limite calculado.

Exemplo aplicado

A Tabela 1 apresenta os dados de um ensaio fictício com seis tratamentos, medindo a redução da pressão arterial (em mmHg) ao longo do tempo.

Tabela 1. Diminuição da pressão arterial segundo o tratamento

A análise de variância desses dados resultou em um F significante (ver Tabela 2), indicando diferenças entre as médias.

Tabela 2. Resultados da ANOVA

Como o F foi significante, procedemos às comparações duas a duas pelo teste de Bonferroni. Para k = 6, o número de comparações possíveis é

Com α = 0,05, o nível de significância por comparação será:

A Tabela 3 apresenta as comparações de médias duas a duas, com asterisco (*) indicando diferenças significantes no nível de significância ajustado. Veja também a Figura 1, que ajuda na percepção das diferenças.

Tabela 3. Comparação de médias pelo teste de Bonferroni

Figura 1. Comparação de médias pelo teste de Bonferroni

LIVROS

Teste de Médias: Escolher o Mais Liberal ou o Mais Conservador?

 

Após realizar uma análise de variância (ANOVA) para testar a hipótese de igualdade entre médias populacionais, e constatada a significância do teste F, o pesquisador busca uma forma de comparar as médias entre si. Para isso, são aplicados os chamados testes post hoc ou a posteriori.

Diversos testes estão disponíveis na literatura e nos softwares estatísticos. Mas surge a dúvida: qual deles escolher?

Segundo Winner (1962), os testes de comparação de médias podem ser ordenados do mais liberal ao mais conservador da seguinte forma:

🔹        MRT de Duncan

🔹        Student-Newman-Keuls

🔹       LSD de Fisher

🔹        HSD de Tukey

🔹        S de Scheffé

Testes mais liberais apontam mais facilmente diferenças significantes entre médias. Assim, espera-se que o teste de Duncan identifique mais diferenças do que o teste de Scheffé. Mas... seria adequado escolher sempre o teste que acusa mais diferenças?

                      🔔   A ESCOLHA DEVE SER DEFENSÁVEL

O critério fundamental para a escolha do teste é a sua adequação ao contexto experimental. Por exemplo:

Se um pesquisador da área da saúde compara o efeito de uma nova droga com medicamentos convencionais no tratamento de uma doença grave, deve aplicar um teste mais conservador, como o de Tukey ou o de Scheffé. Nesses casos, não se deve proclamar uma descoberta sem um grau razoável de certeza.

Já em experimentos da área agrícola, como a comparação entre 12 linhagens de soja em fase preliminar de avaliação, a aplicação de um teste mais liberal, como o de Duncan, pode ser vantajosa. Ele permite reduzir o número de linhagens a serem mantidas para testes futuros, economizando tempo e recursos.

🔔 A IMPORTÂNCIA DO NÚMERO DE COMPARAÇÕES

Na prática, pesquisadores raramente são questionados sobre os critérios que adotaram para escolher um teste de médias. No entanto, quanto maior for o número de comparações realizadas, maior será a probabilidade de obter conclusões diferentes, dependendo do teste aplicado.

Se apenas dois grupos forem comparados, todos os testes listados anteriormente levarão à mesma conclusão. Mas com vários grupos, as diferenças aparecem.

Considere um experimento com k grupos. Suponha que você decida comparar todas as médias duas a duas após uma ANOVA. Haverá

                                       

comparações, cada uma realizada com nível de significância α.

Se a hipótese nula de igualdade das médias for verdadeira, o risco de rejeição incorreta (erro tipo I) em uma comparação é α. A probabilidade de não cometer erro tipo I em uma comparação é 1−α. Em m comparações, a probabilidade de nenhum erro tipo I ocorrer é (1−α)^m. Assim, a probabilidade de pelo menos um erro tipo I ocorrer (ou seja, de rejeitar H₀ em pelo menos uma comparação) é:  

                            

        EXEMPLO                     

Após uma ANOVA com três grupos — A, B e C — você decide aplicar comparações duas a duas, com nível de significância de 5%. As médias populacionais são, na verdade, iguais.

Se você optar por um teste liberal, pode esperar mais rejeições da hipótese nula. Utilizando a distribuição binomial, você pode calcular as probabilidades de aceitar (A) ou rejeitar (R) H₀ nas três comparações:

                                              A x B

                                              A x C

                                              B x C

A tabela abaixo ilustra os possíveis desfechos (A = aceitar H₀, R = rejeitar H₀) e suas respectivas probabilidades.

Comparações	Probabilidade
A, A, A	0,857375
R, A, A	0,045125
A, R, A	0,045125
A, A, R	0,045125
R, R, A	0,002375
R, A, R	0,002375
A, R, R	0,002375
R, R, R	0,000125

A soma das probabilidades em que ao menos uma hipótese é rejeitada (ou seja, ocorre erro tipo I) é:

                                0,045125 × 3 + 0,002375 × 3 + 0,000125= 0,142625

Assim, mesmo tendo adotado α=0,05, a probabilidade real de cometer pelo menos um erro tipo I nas três comparações é de aproximadamente 14,3%.

📝 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A escolha do teste post hoc não deve ser feita de forma automática, nem baseada apenas no número de diferenças que ele aponta. O contexto do experimento, as possíveis consequências da decisão e o objetivo da pesquisa devem guiar essa escolha.

Em ciência, a estatística é essencial — mas deve ser usada com uma boa dose de ética e bom senso.

        VEJA:

      1. Winner (1962) Apud Kris E. Berg e Richard W. Latin Research Methods in Health, Physical Education,             Exercise Sciences and Recreation. 3ed. Lippincott. 2008. p 155.

      2.  Megan Goldman. disponível em http://www.stat.berkeley.edu/users/mgoldman. Acesso em 29 de                          outubro de 2016.

Comparações múltiplas: como evitar conclusões erradas?

Quando fazemos uma análise de variância (ANOVA) para comparar grupos, o teste F nos diz se existe diferença entre médias — mas não   diz entre quais grupos está a diferença. Por isso, quando o teste F rejeita a hipótese de que todas as médias são iguais, o pesquisador quer um teste para comparar as médias, duas a duas, ou em grupos de seu interesse. É aí que entram os testes a posteriori (post hoc).

Mas para escolher o teste, o pesquisador precisa tomar uma decisão importante: o que ele quer?

🔺   Controlar o risco de erro em cada comparação de duas médias?
                                       (comparisonwise error rate)

🔺  Controlar o risco de erro no conjunto de comparações feitas?

(experimentwise error rate)

Vamos entender este dilema com exemplos.

                                         Exemplo: 3 grupos (A, B e C)

Imagine que queremos comparar três tratamentos(grupos). São possíveis 3 comparações de médias: A e B, A e C e B e C. Vamos repetir esse experimento 10 vezes. Então, no total, serão feitas 30 comparações, como mostra a Tabela 1.

Tabela 1

   

Vamos supor que todas as médias populacionais são iguais (não sabemos disso quando fazemos o experimento). Para comparar médias, podemos escolher:

🔺    Um teste que controle o risco de erro Tipo I em cada comparação de médias. Neste caso, se – para cada comparação de duas médias – for estabelecido um nível de significância de 10%, espera-se que cerca de 10% das 30 comparações (ou seja, 3) indiquem, erradamente (erro tipo I), diferença que não existe. Note bem: essas 3 comparações erradamente significantes podem estar em só. ou em 3 dos 10 experimentos.

🔺  Um teste que controle o risco de erro Tipo I por experimento. Neste caso, se – para cada experimento – for estabelecido o nível de significância de 10%, espera-se que apenas 1 dos 10 experimentos (ou seja, 10%) indique, erradamente (erro tipo I), diferença que não existe.

                                  Exemplo: 20 grupos

Vamos pensar agora em um cenário maior: vamos comparar 20 tratamentos (grupos) dois a dois. São possíveis combinação de 20, dois a dois, que é (20x19) /2 = 190 comparações de médias. Vamos repetir esse experimento 10 vezes. Então, no total, serão feitas 190 x 10 = 1.900 comparações de médias. Novamente, vamos supor que as médias são todas iguais. Não sabemos disso, mas podemos escolher:

🔺 Um teste que controle o erro tipo I em cada comparação de médias. Se for estabelecido o nível de 10% de significância podem ocorrer até 190 falsos positivos (10% das 1.900 comparações de médias). Então quase todo experimento teria erros. O nível de erro se aproximaria, portanto, de 100%!

🔺  Um teste que controle o risco de erro Tipo I por experimento. Se for estabelecido o nível de significância de 10%, espera-se que ocorra erro tipo I em apenas 1 experimento, mesmo com 1.900 comparações no total.

                                       Comparação entre os testes

O teste DMS de Fisher e o teste das amplitudes múltiplas de Duncan não controlam o nível de significância de experimentos. São testes liberais, pois apontam significância com muita facilidade. Mas têm grande poder, pois nível de significância e poder do teste crescem juntos. De qualquer modo, é preciso evitar o "fishing for significance". Comparar muitas médias sem controle aumenta o risco de achar diferenças que não existem.

 

Já o teste DHS de Tukey, o teste de Dunnet e o teste S de Scheffé são conservadores, pois controlam o nível de significância de experimentos. Se o nível de significância para experimentos for 5%, o nível de significância para comparação de médias será menor do que 5%. Conclusões baseadas em experimentwise α são mais confiáveis em estudos com múltiplos grupos.

 

No entanto, quando se comparam apenas dois grupos, o nível de significância para experimentos é igual ao nível de significância para comparação de médias. Mas é preciso cuidado quando se comparam vários grupos, pois pode haver diferença nas conclusões.

                                                    ✅ Conclusão

     🔺  Testes liberais (como DMS e Duncan) têm maior poder, mas também maior risco de erro tipo I.

     🔺  Testes conservadores (como Tukey, Dunnett e Scheffé) protegem melhor contra erros, mas podem deixar de detectar diferenças reais.

    🔺  Em poucas comparações, a diferença entre os erros é pequena.

  🔺 Em muitas comparações, o controle do erro por experimento é essencial.