Teste de Student-Newman-Keuls para comparação de médias

O teste de Student-Newman-Keuls baseia-se, como o teste de Tukey, na amplitude estudentizada  q. Tem, porém, maior poder do que o teste de Tukey. Isto acontece porque o teste de Tukey  mantém o nível de significância para experimento (experimentwise Type I error rate) igual ao valor do a escolhido, o que não acontece com o teste de Student-Newman-Keuls.

Aliás, o valor exato da probabilidade de cometer erro Tipo I, no caso do teste de Student-Newman-Keuls, não pode ser calculado, devido à natureza sequencial (stepwise) desse teste. A escolha entre o teste de Tukey ou Student-Newman-Keuls depende da necessidade racional – e bem explicada – de detectar diferenças significantes entre as médias.

Para aplicar o teste de Student-Newman-Keuls, calculamos diferenças críticas diferentes (d_m) que farão a comparação de duas médias. O valor das diferenças depende de quão próximas estão essas médias. Em outras palavras, a diferença crítica d_m compara duas médias que abrangem m (m = 2, 3, ...k) médias ordenadas, na lista de k médias dos k grupos em comparação no ensaio.

Para entender, imagine que estão sendo comparados k = 4 grupos. Imagine ainda que as médias de grupos foram calculadas e a média do primeiro grupo é menor que a do segundo, a do segundo menor que a do terceiro e a do terceiro menor que a do quarto, isto é:

Veja o esquema e entenda:primeiro você compara a maior média com a menor (m=4); depois, compara a maior média com a segunda menor e a segunda maior com a menor; nestes casos, m = 3. Depois, só restam comparações de médias duas a duas.

Calcule, para cada comparação:

Nessa fórmula: 

• q_{(a, m,GL)} denominado amplitude estudentizada é obtido na tabela de amplitude estudentizada q ao nível de significância a, para comparar duas médias que abranjam m médias ordenadas na lista de k médias em comparação, com o número de graus de liberdade do resíduo da ANOVA, GL.
• QMR é o quadrado médio do resíduo da análise de variância;
• r é o número de observações por grupo (estamos pressupondo grupos de mesmo tamanho).

O teste consiste em declarar duas médias como estatisticamente diferentes quando o valor absoluto da amplitude entre elas é igual ou maior do que a amplitude estudentizada mínima significante.

Vamos mostrar como se faz o teste de Student-Newman-Keuls usando um exemplo. Considere os dados (fictícios) de diminuição da pressão arterial apresentados na Tabela 1. Esses dados foram submetidos à análise de variância, que está apresentada na Tabela 2. Como o valor de F é significante ao nível de 5%, existe pelo menos uma média diferente das demais. As médias amostrais calculadas estão na Tabela 3.

Tabela 1 - Diminuição da pressão arterial, em milímetros de mercúrio, segundo o grupo

 Tabela 2 - Análise de variância

Tabela 3 - Média de diminuição da pressão arterial, em milímetros

de mercúrio, segundo o grupo

Quais são as médias estatisticamente diferentes?  A pergunta pode ser respondida com a aplicação do teste de Student-Newman-Keuls. Para proceder ao teste, é preciso escrever as médias de grupos em ordem decrescente (ou crescente), como mostra a Tabela 4. 

Tabela 4 - Média de diminuição da pressão arterial em milímetros de mercúrio, na ordem decrescente, segundo o grupo

A lista ordenada de k = 6 médias do nosso exemplo está na Tabela 4. A maior média amostral é 29, do grupo D e a menor é 2, do controle. Vamos calcular a diferença crítica d_m  para comparar essas médias. Então m = 6. Já sabemos, da Tabela 2, que o resíduo da ANOVA tem 24 graus de liberdade e quadrado médio  QMR = 36,00. Na Tabela 1, temos r = 5. O valor de q_a,m é 4,3727. Então

A diferença entre o tratamento D e o controle (29-2=27) é maior do que a diferença crítica 11,733. Então em média o tratamento D determina maior diminuição da pressão arterial que o controle.

Talvez você se pergunte: onde acho o valor q_a,m=4,3727? Nas tabelas de q (studentized range o Student’s q), que você encontra na internet. Veja uma “amostra” dessa tabela.

Valor de q para o nível de significância de 5%

Graus de liberdade	Nº de médias em comparação
	2	3	4	5	6	7	8	9	10
20	2,9500	3,5779	3,9583	4,2319	4,4452	4,6199	4,7676	4,8954	5,0079
21	2,9410	3,5646	3,9419	4,2130	4,4244	4,5973	4,7435	4,8699	4,9813
22	2,9329	3,5526	3,9270	4,1959	4,4055	4,5769	4,7217	4,8469	4,9572
23	2,9255	3,5417	3,9136	4,1805	4,3883	4,5583	4,7019	4,8260	4,9353
24	2,9188	3,5317	3,9013	4,1663	4,3727	4,5413	4,6838	4,8069	4,9153
25	2,9126	3,5226	3,8900	4,1534	4,3583	4,5258	4,6672	4,7894	4,8969
26	2,9070	3,5142	3,8796	4,1415	4,3451	4,5115	4,6519	4,7733	4,8800
27	2,9017	3,5064	3,8701	4,1305	4,3329	4,4983	4,6378	4,7584	4,8645
28	2,8969	3,4992	3,8612	4,1203	4,3217	4,4861	4,6248	4,7446	4,8500
29	2,8924	3,4926	3,8530	4,1109	4,3112	4,4747	4,6127	4,7319	4,8366
30	2,8882	3,4865	3,8454	4,1021	4,3015	4,4642	4,6014	4,7199	4,8241

  Fonte: http://davidmlane.com/hyperstat/sr_table.html

 Vamos calcular a d_m para comparar médias que abranjam m = 5 médias ordenadas médias. 

Então, para comparar as médias de D com B e de A com o controle:A diferença das médias dos grupos D e B (29-8=21) e A e controle (21-2=19) são significantes ao nível de 5%.