Regressão linear pela origem: quando forçar o intercepto ao valor zero

 Em análises de regressão, o modelo mais comum inclui um termo de intercepto (constante). No entanto, em situações específicas, somos obrigados a forçar a reta de regressão a passar pela origem do plano cartesiano (ponto (0,0)). Essa decisão pode ser motivada por razões teóricas sólidas ou por evidências empíricas anteriores.

Por que usar um modelo sem intercepto?

Dois exemplos clássicos ilustram essa necessidade:

1.                   Movimento Retilíneo Uniforme: Na Física, se um corpo parte do repouso em uma trajetória retilínea, no instante inicial (tempo zero) a distância percorrida é necessariamente zero. Um modelo que não passe pela origem não faria sentido físico.

2.               Módulo de Young: Na Engenharia de Materiais, o módulo de Young, que mede a rigidez de um material, é definido pela inclinação da curva tensão-deformação no regime elástico. Se não há tensão aplicada, não há deformação. Portanto, a reta que modela esse comportamento deve passar pela origem.

A Figura 1 ilustra essa relação no contexto do módulo de Young.

                                                     Figura 1

Embora a regressão linear simples sem intercepto tenha utilidade em estatística aplicada, é recomendável compará-la com um modelo que inclua o termo de interceptação. A decisão sobre qual modelo utilizar pode ser controversa e depende do contexto da análise.

O Modelo Matemático

Ao impor que a reta passe pela origem, nosso modelo simplifica para:

Onde:

      ·     X é a variável independente.

      ·     Y é a variável dependente.

      ·    b  é o parâmetro (coeficiente angular) que queremos estimar.

      ·    e é o termo de erro aleatório.

         A estimativa de b  é dada pela fórmula:

 

A reta de regressão ajustada é, portanto:

                                                 

Os desvios ou resíduos são dados por

 

Avaliando o Ajuste do Modelo

Uma diferença crucial em relação ao modelo com intercepto é que a soma dos resíduos (Σe_i) não é necessariamente zero. Ao forçar a reta a passar por (0,0), perdemos o grau de liberdade que "ajustava" a altura da reta para minimizar os resíduos.

Para avaliar a qualidade do ajuste, recorremos à análise de variância (ANOVA). Os graus de liberdade são ajustados da seguinte forma:

·      SQ Total: n graus de liberdade.

·      SQ Regressão: k graus de liberdade (onde k=1).

·      SQ Resíduo: n-k graus de liberdade.

As somas de quadrados são dadas pelas fórmulas:

 Podemos, então, construir a tabela de análise de variância (ANOVA) apresentada na Tabela 1. 

Exemplo Prático

Considere os dados da Tabela 2, para os quais vamos ajustar um modelo que passa pela origem. Os resultados da ANOVA estão na Tabela 3.

Logo, a equação da reta de regressão é:

                                

Também podem ser calculados os valores do desvio padrão (s), do coeficiente de determinação (R²) e o valor do teste t para o coeficiente angular b. Veja as fórmulas:

Para os dados do exemplo:

A Figura 2 apresenta os valores observados, os valores obtidos pela reta de regressão e a reta ajustada.

O “output” do Minitab está apresentada em seguida.

Regressão linear simples: o ajuste de uma reta

 A análise de regressão é uma técnica estatística que busca estabelecer a relação entre duas ou mais variáveis. A regressão linear simples busca explicar a relação entre apenas duas variáveis, X e Y, por meio de uma reta. Por exemplo, um estatístico pode querer saber se existe relação entre a quantidade de propaganda de determinado produto (X) e o número de unidades vendidas (Y). Um exemplo numérico com dados fictícios está apresentado na Tabela 1 e no diagrama de dispersão do Gráfico 1.

Olhando o diagrama de dispersão do exemplo, você percebe que não pode achar uma reta que passe sobre todos os pontos. Logo, não existe uma função matemática que dê o valor de Y em função de X. No entanto, o diagrama de dispersão dá a ideia de que existe uma reta em torno da qual os dados se distribuem. Esta é uma relação estatística, expressa pelo modelo:

Nesse modelo de regressão, X é a variável independente ou explicativa e Y é variável dependente ou resposta; e são erros aleatórios.

 Os valores a e b são parâmetros; a é o coeficiente linear e b é o coeficiente angular. A verdadeira reta de regressão não é conhecida. No entanto, podemos obter as estimativas a e b de a e b usando as fórmulas:

   As fórmulas são obtidas pelo método dos quadrados mínimos. A reta de regressão estimada, usando os valores calculados de a e b é chamada de reta ajustada.   

Vamos obter as estimativas a e b da reta ajustada aos dados do exemplo apresentado. Facilita construir uma tabela com cálculos auxiliares, como a Tabela 2. As somas que constam das fórmulas estão no rodapé dessa tabela.
                                               Tabela 2

 A reta ajustada é:

Ajustada a reta de regressão, podem ser obtidos os valores ajustados de Y para cada valor de X. Por exemplo, para X= 3, segue-se que:

É importante notar que os valores estimados de Y podem ser diferentes dos valores observados de Y. As diferenças entre esses dois valores são chamados de desvios ou resíduos, que indicaremos por e. Então, para X= 3, uma vez que Y observado é 4 e Y estimado é 5, segue-se que:

 Os demais desvios estão na Tabela 3.

         Tabela 3              

A estimativa da variância da regressão, que indicaremos por s², é dada pela soma dos quadrados dos desvios (também apresentada na Tabela 3) dividida pelos respectivos graus de liberdade (n-2). Então, a variância é obtida pela fórmula:

No caso do exemplo que estamos desenvolvendo: 

   O teste t é usado para testar hipóteses sobre os coeficientes de regressão, no caso de uma regressão linear simples, desde que seja razoável pressupor que os erros são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal de média zero e variância s².

     Para testar a hipótese de que o coeficiente angular é 1 (H₀: b =1), contra a hipótese alternativa de que é diferente de 1, a estatística de teste é:

em que b é a estimativa de b e s(b) é o erro padrão da estimativa. O valor de s(b) é dado pela fórmula:

    Para obter s(b), é preciso calcular o somatório que está no denominador da fração. Precisamos então da média de X:

Vamos então construir uma tabela.

Tabela 4

Com o valor já calculado de s², obtemos:

Para testar a hipótese de que o coeficiente angular é 1 (H₀: b =1), calculamos:

Para um teste bilateral, o valor crítico de t com 8 graus de liberdade no nível de significância de 5% é 2,306. Não rejeitamos a hipótese de que b= 1.

    Para testar a hipótese de que o coeficiente linear é 0 (H₀: a =0), contra a hipótese alternativa de que é diferente de 1, a estatística de teste é:

em que a é a estimativa de a e s(a) é seu erro padrão. O valor de s(a) é dado pela fórmula:

    Então, para o exemplo:

    Para testar a hipótese de que o coeficiente linear é 1 (H₀: a = 0), calculamos:

    Para um teste bilateral, o valor crítico de t com 8 graus de liberdade, no nível de significância de 5% é 2,306. Rejeitamos a hipótese de que a = 0.

VARIAÇÃO PERCENTUAL: o poder dos números em transformação

        

 A variação percentual expressa a medida com que uma variável ganha ou perde intensidade, magnitude, extensão ou valor entre dois períodos distintos, em relação a um desses períodos.

                                  3% excedem 2% em 50%, não em 1%.

      Por exemplo, o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) alertou para o desmatamento na Amazônia Legal no mês de junho de 2019: 920,4 km². No mesmo período do ano anterior, isto é, em junho de 2018, o alerta para o desmatamento na Amazônia Legal havia sido de 489,6 km².  A diferença entre esses dois períodos foi de

A variação percentual foi de

  Um aumento percentual de 88% em relação ao mesmo período do ano anterior é alto, qualquer que seja a variável em análise. Posto em termos de alerta para o desmatamento na Amazônia, significa que o alerta em 2019 foi 88% maior do que o alerta feito em 2018, para o mesmo mês, junho. Não significa, obviamente, 88% de desmatamento dos 5.217.423 km² da Amazônia Legal. Veja os dados do INPE e confira: o alerta para o desmatamento na Amazônia foi maior, prenúncio da queimada que estava por vir.

Outro exemplo trata a taxa de mortalidade infantil, importante indicador social. Por definição, taxa de mortalidade infantil é a frequência de óbitos infantis (menores de um ano) em relação ao número de nascidos vivos em uma dada população, em determinado ano civil. É, portanto, uma estimativa da probabilidade de um recém-nascido não completar o primeiro ano de vida.

De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a taxa de mortalidade infantil no Brasil era de 13,3 óbitos por mil nascidos vivos em 2015 e 14,0 em 2016. A taxa de mortalidade infantil cresceu nesse período, fato que não ocorria desde 1990.

Para saber a diferença em pontos percentuais, é preciso, primeiramente, transformar a taxa de mortalidade infantil, que é dada por mil nascidos vivos, em porcentagem. Então: 13,3‰ significam 1,33% óbitos em 2015; 14,0‰ significam 1,40% óbitos em 2016. A diferença é

A variação percentual foi positiva, indicando aumento relativo da taxa de mortalidade infantil. Veja o cálculo:

Em 2017, a taxa de mortalidade infantil recuou: de 14 óbitos por mil nascidos vivos em 2016 para 12,8 óbitos em 2017. Então: 14,0‰ significam 1,40% óbitos (em 2016) e 12,8‰ significam 1,28% (em 2017). A diferença é

 A variação percentual foi negativa, indicando diminuição da mortalidade infantil de 2016 para 2017 em:

E já que estamos falando em percentuais, vale lembrar que, como dizia Einstein:

             “Genius is 1% talent and 99% percent hard work...”

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