Álgebra de matrizes III:matriz transposta, adição e subtração de matrizes

Matriz transposta

Para "transpor" uma matriz, troque as linhas com as colunas. Indique a matriz transposta da matriz M por M’.

Exemplo

É dada a matriz

A transposta de M é

Teorema: O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua transposta.

Exemplo

         É dada a matriz

          O determinante de B conforme calculado em postagem anterior é

          A transposta de B é

         O determinante de B’ é

      

                Rearranjando os termos, você obtém o determinante de B’, igual ao   determinante de B.

                       

Soma de matrizes

       Para somar duas matrizes, some os elementos que estão em posições     correspondentes.

Exemplo

       São dadas duas matrizes, A e B. Veja como se faz a soma delas.

         Veja os cálculos

Importante: só podem ser somadas matrizes de mesmo tamanho. Não se pode somar uma matriz 3 x2 com uma matriz 2 x 3. Não.

                                  Subtração

Para subtrair matrizes, proceda à subtração dos elementos que ocupam posições correspondentes.

      

Exemplo

          São dadas as mesmas duas matrizes, A e B. Veja como se subtrai B de A.

Veja os cálculos

Importante: na verdade, não se diz subtração (de matrizes), mas sim soma de matriz negativa A+(-B).

Para o Guilherme, que quer provas:

Teorema: O determinante de uma matriz quadrada M não se altera se as linhas forem ordenadamente trocadas com as colunas.

Dada a matriz

Por definição,

Os primeiros índices estão sempre na permutação fundamental. Isso significa que, para os primeiros índices, o número de inversões é sempre zero e a permutação é sempre de classe par. Consequentemente, p indica o número de permutações dos primeiros e dos segundos índices, porque 0 + p = p.

A soma do número de inversões das permutações não muda se, numa parcela qualquer do somatório, dois elementos trocarem de lugar. Isto porque, nesse caso, mudam tanto o número de inversões das permutações dos primeiros índices como o dos segundos índices. O número de inversões não muda de paridade e a classe permanece sendo a mesma.

Em particular, a ordem dos fatores de cada parcela pode ser trocada, de modo que os segundos índices fiquem na permutação fundamental, que é classe par (zero). Então:

Este resultado também é obtido trocando os dois índices em cada elemento da matriz M.

                                      

        A matriz M’ é a transposta da matriz M. Então o teorema pode ser reescrito:

Teorema: O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua transposta.