Amplitude estudentizada (studentized range): você sabe o que é?

Seja Y uma variável aleatória com distribuição normal, média μ e desvio padrão σ. Ao coletar uma amostra de tamanho n, obtemos uma estimativa s para o desvio padrão populacional. Ordenando os dados, identificamos facilmente o valor mínimo e o valor máximo da amostra. A diferença entre esses dois valores é chamada amplitude.

Dividindo a amplitude pelo desvio padrão amostral s, obtemos a amplitude estudentizada, uma estatística adimensional:

Esse nome – amplitude estudentizada – é uma homenagem a  Student, pseudônimo usado por William Sealy Gosset, um dos fundadores da estatística moderna.

A distribuição da estatística q — a amplitude estudentizada — é conhecida há bastante tempo. Depende de dois fatores:

·     do nível de significância adotado (α).

·     dos graus de liberdade associados à variância amostral

Várias amostras

Considere agora que dispomos de k amostras independentes, todas de tamanho r, da variável aleatória Y, normalmente distribuída. Cada amostra é submetida a um tratamento e gera uma estimativa de média μ_i, i=1, 2, …, k.  Vamos supor variâncias iguais (homocedasticidade). Para testar a hipótese

                           H₀: m₁ = m₂= … m_k

contra a hipótese de que pelo menos uma amostra tem média diferente das demais, é feita uma análise de variância. A variância ponderada das k estimativas da variância σ² é dada pelo quadrado médio do resíduo da ANOVA (QMR).

Quando a ANOVA rejeita H₀​, queremos saber quais pares de médias diferem significativamente. Para isso, precisamos de um teste.

                        E o teste de Tukey?

Tukey criticou o uso indiscriminado do teste t após uma ANOVA, pois o erro tipo I se acumula com o número de comparações. Propôs então o teste da Diferença Honestamente Significante (HSD – Honestly Significant Difference) para comparar médias duas a duas, sem aumentar o nível de significância.

A estatística usada no teste de Tukey é:

onde:

               

  QMR é o quadrado médio do resíduo da ANOVA,

   r é o número de observações por grupo.

A estatística q segue uma distribuição de amplitude estudentizada. A distribuição dessa estatística depende

·     do nível de significância adotado (α).

·     do número de médias em comparação.

·     dos graus de liberdade associados ao quadrado médio do resíduo da ANOVA.

                  Atenção: as tabelas mudaram!

As tabelas antigas de q (como as publicadas em Pearson & Hartley) traziam o valor original da amplitude estudentizada.

Muitas das tabelas modernas estão “convertidas” para uso direto no teste de Tukey, ou seja, o valor original de q foi multiplicado por √2​:

Ambas usam o símbolo q, mas representam valores diferentes! Confira sempre a legenda da tabela.

           Exemplo de procedimento para o teste de Tukey

  São dadas as concentrações de estrôncio (mg/ml) na água de cinco locais diferentes[1]. Vamos fazer a análise de variância e comparar as médias pelo teste de Tukey, usando o programa SAS.  

 Concentrações de estrôncio (mg/ml) na água de cinco locais diferentes

                                         OUTPUT                                           

Para apresentar os resultados em um trabalho, é razoável escrever:

                           Análise de variância

              Comparação das médias pelo teste de Tukey

 

Local	Repetições	Média	Agrupamento
5	6	58,3	A
3	6	44,08		B
4	6	41,1		B
2	6	40,23		B
1	6	32,08			C

Nota: Médias que não compartilham a mesma letra são

significantemente diferentes entre si

Conclusão: A concentração de estrôncio (mg/ml) na água do Local 5 é significantemente maior do que em todos os outros. Nos locais 3, 4 e 2 A concentração de estrôncio (mg/ml) na água não tem diferença estatística. No local 1 A concentração de estrôncio (mg/ml) na água é significantemente menor do que em todos os outros.

 NOTAS

1.O exemplo apresentado é de

Zar, J.J.H. Biostatistical Analysis. New Jersey, Prentice Hall. 4ª ed. 1999, p.210.

2.Você encontra a Tabela de amplitude estudentizada de Tukey, por exemplo, em

http://www.real-statistics.com/statistics-tables/studentized-range-q-table/

Potência zero explicada

a

📌 Por que qualquer número elevado à potência zero é igual a 1?

Para entender isso, comece lembrando uma das regras das potências, ou seja, a divisão de potências de mesma base:

                                

                              ✏️ Veja um exemplo:

                          

Mas sabemos que:

                                         

 é igual a 1, porque o numerador é igual ao denominador. Aplicando  a lei dos expoentes, vem:

                                          

           Logo:

                                             4⁰=1.

✅ Regra geral:

                 Para qualquer número a≠0, temos:

                    

📜 Outra maneira de pensar

Vamos analisar este exemplo:

Aplicando a regra da divisão:                                              

Agora veja:                                         

Como numerador e denominador são iguais, o resultado é 1. Então,                                                                           

✅ Regra geral:

                 Para qualquer número a≠0, temos:

                                a⁰=1.   

📜 Pensando com uma sequência de potências

Considere a sequência:

                           3¹; 3²; 3³; 3⁴; 3⁵; 3⁶…

Os valores são:

                          3; 9; 27; 81; 243; 729; …

Observe o padrão: indo para a direita, multiplicamos por 3,indo para a esquerda, dividimos por 3. Vamos voltar até o expoente zero:

                      …, 3^-3, 3^-2, 3^-1, 3⁰, 3¹, 3²,…          

Calculando:​                                               

​

Dividindo por 3 a cada passo, ao chegar em , temos:

                                 

✅ Conclusão: Para manter o padrão da sequência, 3⁰ precisa ser igual a 1.

❓ E quanto vale 0⁰ ?

Aqui entram duas regras diferentes:

                 1. Se a base for zero e o expoente for maior que zero, então:

                                              0⁵ = 0.

                 2. Se a base for diferente de zero e o expoente for zero:

9⁰ = 1

Então, o que acontece com 0⁰ ? Ele parece poder ser 0 ou 1. Mas…

✅ Resposta:

            0⁰  é considerado indeterminado.

Essa é uma convenção matemática, porque atribuir um valor 0⁰ depende do contexto — especialmente em limites e análise matemática. Em muitas situações práticas, considera-se,  por conveniência e consistência com as leis das potências, 0⁰=10⁰=1  mas formalmente dizemos que é uma indeterminação.

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🔎 Nota final:

Este texto foi inspirado nas explicações do The Math Forum:

🔗 http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.number.to.0power.html

 

Leis da potenciação( descomplicadas)

      

 📌Potenciação: Multiplicar um Número por Ele Mesmo

Você pode multiplicar um número por ele mesmo quantas vezes quiser. Por exemplo:

                               3 × 3 × 3 × 3 × 3

Em vez de escrever tudo isso, usamos uma forma mais compacta:

3⁵

Nesse caso:

🔹 3 é a base

🔹 5 é o expoente ou potência

Dizemos que "3 está elevado à quinta potência" ou, mais simplesmente, "3 à quinta".

                        O que o expoente indica?

O expoente mostra quantas vezes a base é multiplicada por ela mesma:

3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

                      Como lemos uma potência?

🔹 3² → “3 ao quadrado”

🔹 7³ → “7 ao cubo”

🔹 5⁴ → “5 à quarta potência”

🔹 4⁵ → “4 à quinta potência”

 

Exemplos

               4⁵ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024

               🔹 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

               🔹 7³ = 7 × 7 × 7 = 343

Generalizando

Multiplicar um número a por ele mesmo n vezes é uma operação chamada potenciação. Escrevemos assim:
                                                aⁿ

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Casos Especiais

A base pode ser 1 ou 0?

🔹 1 elevado a qualquer número é sempre 1
Exemplo: 1⁵ = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1

🔹 0 elevado a um número positivo é sempre 0
Exemplo: 0⁴ = 0 × 0 × 0 × 0 = 0

E se for 0⁰?

Esse é um caso especial: 0⁰ é considerado indeterminado, porque em alguns contextos o valor seria 1 e em outros, 0.

Expoente Negativo

Sim, o expoente pode ser negativo. Isso indica uma divisão, e não uma multiplicação.

Exemplo:

5⁻² = 1 ÷ 5² = 1 ÷ 25 = 0,04

Regra geral

Se a base for a e o expoente for -n, então:

a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ

Exemplos

       4⁻⁵
Primeiro: 4⁵ = 1024
Depois: 1 ÷ 1024 = 0,0009765625

            2⁻⁴

Primeiro: 2⁴ = 16
Depois: 1 ÷ 16 = 0,0625

 

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📌 Multiplicação de potências de mesma base 

 

Para multiplicar potências de mesma base, mantenha a base e some os expoentes.

                                                                 

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📌 Divisão de potências de mesma base

 

     Genericamente, a divisão de potências de mesma base pode ser escrita como segue:

                                    

                                                                           

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   📌 Potência de produto

O produto de dois ou mais fatores elevados ao um expoente é igual ao produto desses fatores, cada qual elevado ao mesmo expoente.

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 📌 Potência de uma divisão

O resultado de uma divisão elevada a um expoente é dada por dividendo e divisor elevados ao mesmo expoente.

                                 

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📌Potência de potência

 O resultado de uma potência elevada a outra potência é        dada pelo produto dos expoentes.