O que é assimetria (ou distorção) e como se mede?

1. O que é assimetria em uma distribuição de dados?

    ·      Se a cauda esquerda é mais pronunciada, temos assimetria negativa.

    ·      Se a cauda direita é mais pronunciada, a assimetria é positiva.

     ·      Caso contrário, a distribuição é simétrica.

Os livros costumam apresentar histogramas para ilustrar caudas longas e o efeito dos valores extremos sobre a média.

                                                      Figura 1

                Histogramas com diferentes formas de assimetria

Fonte: David P. Doane & Lori E. Seward (2011) Measuring Skewness:

A Forgotten Statistic?, Journal of Statistics Education, 19:2, ,

DOI: 10.1080/10691898.2011.11889611 To link to this article: https://doi.org/10.1080/10691898.2011.11889611

2. Ferramentas visuais para avaliar a assimetria

 Além do histograma, considere:

·     Boxplot (diagrama de caixa) útil para ver dispersão e valores extremos.

·    Dotplot (diagrama de pontos): mostra o tamanho da amostra.

·     Diagrama de ramo e folhas: revela dados individuais e simetria.

 Figura 2  

 Blogspot e dotplot 

3. Média, mediana e moda: qual é o centro?

Regra clássica:

         ·      - Média > mediana → assimetria à direita.

         ·      - Média < mediana → assimetria à esquerda.

Essa regra pode falhar, especialmente em distribuições discretas ou multimodais.

Figura 3  

Assimetria à direita (média maior que a mediana)

Fonte: von Hippel, P.T. Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule. 

Journal of Statistics Education, 13 (2). 2005. ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html

Figura 4

 Assimetria à direita (média menor que a mediana)

Fonte: von Hippel, P.T. Mean, Median, and Skew:Correcting a Textbook Rule. 

Journal of Statistics Education, 13 (2). 2005. ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.htmlFonte: 

4. Como medir a assimetria? Os coeficientes de Pearson

        ·      Primeiro coeficiente de Pearson:

       ·      Segundo coeficiente de Pearson: 

    em que x-barra = média, md = mediana, s = desvio padrão da amostra.

Exemplo

   Calcule o primeiro e o segundo coeficientes de Pearson para encontrar a assimetria de         dados com as seguintes estatísticas: média = 70,5; mediana = 80; moda = 85; desvio            padrão = 19,33.

5. Cuidado com a moda!

        ·      Se a moda for baseada em poucas observações, ela não representa bem a tendência central.

Exemplo comparativo com dois conjuntos pequenos de dados 

          No conjunto de dados 1; 2; 3; 4; 5; 5, a moda não expressa bem a tendência central.             Já no conjunto1; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4, a moda expressa a tendência central.  

6. Como interpretar os coeficientes de Pearson?

          ·     Sinal negativo: assimetria à esquerda.

          ·    Sinal positivo: assimetria à direita.

          ·   Valor próximo de zero: distribuição aproximadamente simétrica.

7. Momentos estatísticos e o coeficiente clássico de Fisher-Pearson

         ·      O segundo momento (m₂) é a variância.

         ·      O terceiro momento (m₃) mede a assimetria.

         ·      Coeficiente tradicional: m₃ / m₂^(3/2).

  Na maioria dos softwares não se encontra mais essa fórmula, embora ela esteja presente na literatura. Mas essa fórmula trabalha com parâmetros populacionais. 

8. O coeficiente padronizado de Fisher-Pearson (usado no Excel)

·      Fórmula ajustada para o tamanho da amostra:

 Exemplo

  Calcule o  coeficiente de Pearson para os dados : 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 7.

                Coeficiente = 0,359543 (diminui com o aumento da amostra).

9. Uma observação importante

 Ao usar essas medidas, normalmente se assume como referência uma população simétrica específica — muitas vezes, a distribuição normal.

Recomendações:

(1) Veja explicações para histogramas com aparências incomuns em:
           Vieira, S. Estatística para Qualidade. 3 ed. Rio de Janeiro. Elsevier.
(2) Veja a questão de assimetria, exigida para uma análise de variância, em
            Scheffé, H. Analysis of variance. Nova York, Wiley.

Princípio de Hardy-Weinberg

    

    Segundo o princípio de Hardy-Weinberg, na ausência de fatores perturbadores, a variação genética em uma população permanece constante de uma geração para outra.

     Vamos pensar no caso mais simples: um único locus com dois alelos A e a, que têm frequências alélicas p e q, respectivamente. Segundo o princípio de Hardy-Weinberg, na ausência de fatores perturbadores, a frequência genotípica será: 

 para homozigotos  AA p²,

 para heterozigotos Aa 2pq

 para homozigotos  aa q².   

    É preciso, porém, que a população seja grande e que o acasalamento seja aleatório.

                                                  Homozigotos     Heterozigotos   Homozigotos

  

    Mas quais seriam os fatores perturbadores que interferem no princípio de Hardy-Weinberg? O equilíbrio Hardy-Weinberg pode ser perturbado pelos fatores: mutações, acasalamento não aleatório, seleção natural, fluxo de genes e deriva genética.

 

   

Deriva genética: em cada geração, alguns indivíduos podem, por acaso, ter mais descendentes (o que significa mais genes deles na população) do que outros indivíduos. Os genes da geração seguinte serão os genes não necessariamente os indivíduos mais saudáveis ​​ou mais aptos, mas daqueles que se reproduziram mais. Isso, em poucas palavras, é a deriva genética. Isso acontece com TODAS as populações - não há como evitar os caprichos do acaso.

     A deriva genética afeta a composição genética da população por processo aleatório, ao contrário da seleção natural. Portanto, embora a deriva genética seja um mecanismo de evolução, não funciona para produzir adaptações. A deriva genética é comum após uma população ser dizimada, o que diminui drasticamente seu tamanho . Nestes casos, a deriva genética pode resultar na perda de alelos raros e diminuir a variação genética.

                  Regras gerais sobre a deriva genética

1.  Não há tendência para que os alelos retornem às frequências ancestrais.

2.   As mudanças causadas pela deriva se acumulam ao longo do tempo.

3.  A direção da mudança em uma geração é independente da direção da mudança na geração anterior.

4. A deriva arruína a diversidade genética dentro das populações: uma vez que um alelo é perdido através da deriva, ele se foi (a menos que seja substituído por mutação ou migração).

Desenhos de     cockroaches running away from killing poison on a white background Stock  Vector - 5786538. https://goo.gl/images/7bKiGv. Coleção Disquinho - Casamento da Dona       Baratinha. http://www.eco-pestcontrol.com/home-remedies-to-kill-roaches/

Genética: exemplo da distribuição trinomial

Suponha que, em uma população parental de moscas das frutas, a frequência de alelos para o fracasso (F) de um inseticida usado no combate das moscas seja ½ e a frequência de alelos para sucesso (S) seja ½.

Frequência de alelos para fracasso (F) = ½.

Frequência de alelos para sucesso (S) = ½.

  A frequência de gametas F e S na população é a mesma, ou seja:

Frequência de gametas para fracasso (F) = ½.

Frequência de gametas para sucesso (S) = ½.

 No caso de organismos diploides, os gametas têm distribuição binomial, uma          vez  que são possíveis apenas ou S ou F. Lembre-se de que

   Vamos supor que apenas três zigotos sobreviveram quando o inseticida foi                 aplicado.

   Uma amostra dos zigotos resulta em um processo trinomial, porque há três genótipos possíveis: FF, FS e SS. Seja X o número de zigotos FF, Y o número de zigotos FS e Z o número de zigotos SS. 

    A probabilidade de ocorrerem x zigotos FF, y zigotos FS e z zigotos SS é dado por:

   1ª pergunta: Qual é a probabilidade de os três zigotos serem homozigotos?

  

             2ª pergunta: Qual é a probabilidade de cada zigoto ter um tipo de genótipo?

               3ª pergunta: Qual é a probabilidade de que os três zigotos sejam FS?

Lembrando combinações:

    Imagine uma sequência de n eventos (ou n ensaios, ou n tentativas) idênticos e independentes. São três os resultados possíveis para cada evento: “A”, “B” e “C”. 

   Se a probabilidade de A (ocorrer o evento de interesse) for p, a probabilidade de B for q e a probabilidade de C for 1-p-q, você tem uma distribuição trinomial.

    Imagine agora uma sequência de n eventos:

                        A, A,...,A ocorre x vezes;

                        B, B,...,B ocorre y vezes;

                                    C, C,...,C ocorre z vezes.

De quantas maneiras isso pode acontecer? Como x + y + z = n,  z = n - x - y: