A 21 de fevereiro de 2022 publiquei, no meu blog, sob o título de
Inferência Bayesiana,
um problema que encontrei no extraordinário livro
Kahneman, D. Thinking...fast and slow. Farrar, Straus and Giroux. 2011 p.167-168.
O problema
Um taxi que causou um acidente
de trânsito se evadiu. Para julgar o caso, são fornecidos os seguintes dados:
85% dos taxis da cidade são da empresa Verde e 15% da empresa Azul. Uma
testemunha que presenciou o acidente disse que o taxi era da empresa Azul. Essa
testemunha foi colocada em teste e se verificou que nas condições do acidente,
acertava a cor dos taxis 80% das vezes. Qual é a probabilidade de o taxi que
causou o acidente ser da empresa Azul, dado que a testemunha disse que era da
Azul?
A
solução
Este é um problema clássico de
inferência bayesiana. Há duas fontes de informação: uma estatística
populacional e o relato de uma testemunha não perfeitamente confiável. Essas
duas informações devem ser combinadas usando o teorema de Bayes.
Veja as probabilidades:
·
P(A):
Probabilidade de o taxi ser da empresa Azul (0,15).
·
P(V):
Probabilidade de o taxi ser da empresa Verde (0,85).
·
P(T∣A): Probabilidade de a testemunha dizer que o taxi
é da empresa Azul dado que o táxi é realmente da empresa Azul (0,80).
·
P(T∣V): Probabilidade de a testemunha dizer que o taxi
é da empresa Azul dado que o táxi é da empresa Verde (0,20).
·
P(T):
Probabilidade de a testemunha dizer que o táxi é da empresa Azul.
Queremos calcular P(A∣T), que é a probabilidade de o táxi ser da empresa
Azul dado que a testemunha disse que era da empresa Azul. Usamos a fórmula de
Bayes:
A probabilidade de a testemunha
dizer que o taxi é da empresa azul é
A probabilidade de o táxi ser da
empresa Azul dado que a testemunha disse que era da empresa Azul é
Portanto, a probabilidade de o táxi ser da empresa Azul dado que a testemunha disse que era da empresa Azul é 41,4%.
