Teorema de Bayes: um exemplo

 

A 21 de fevereiro de 2022 publiquei, no meu blog, sob o título de Inferência Bayesiana, um problema que encontrei no extraordinário livro

      Kahneman, D. Thinking...fast and slow. Farrar, Straus and Giroux.  2011 p.167-168.

                                             O problema

Um taxi que causou um acidente de trânsito se evadiu. Para julgar o caso, são fornecidos os seguintes dados: 85% dos taxis da cidade são da empresa Verde e 15% da empresa Azul. Uma testemunha que presenciou o acidente disse que o taxi era da empresa Azul. Essa testemunha foi colocada em teste e se verificou que nas condições do acidente, acertava a cor dos taxis 80% das vezes. Qual é a probabilidade de o taxi que causou o acidente ser da empresa Azul, dado que a testemunha disse que era da Azul?

                                             A solução

Este é um problema clássico de inferência bayesiana. Há duas fontes de informação: uma estatística populacional e o relato de uma testemunha não perfeitamente confiável. Essas duas informações devem ser combinadas usando o teorema de Bayes.

        Veja as probabilidades:

• P(A): Probabilidade de o taxi ser da empresa Azul (0,15).
• P(V): Probabilidade de o taxi ser da empresa Verde (0,85).
• P(T∣A): Probabilidade de a testemunha dizer que o taxi é da empresa Azul dado que o táxi é realmente da empresa Azul (0,80).
• P(T∣V): Probabilidade de a testemunha dizer que o taxi é da empresa Azul dado que o táxi é da empresa Verde (0,20).
• P(T): Probabilidade de a testemunha dizer que o táxi é da empresa Azul.

Queremos calcular P(A∣T), que é a probabilidade de o táxi ser da empresa Azul dado que a testemunha disse que era da empresa Azul. Usamos a fórmula de Bayes:

Portanto, a probabilidade de o táxi ser da empresa Azul dado que a testemunha disse que era da empresa Azul é de aproximadamente 41,4%.