Teorema de Bayes: um exemplo

 

A 21 de fevereiro de 2022 publiquei, no meu blog, sob o título de Inferência Bayesiana, um problema que encontrei no extraordinário livro

      Kahneman, D. Thinking...fast and slow. Farrar, Straus and Giroux.  2011 p.167-168.

                                             O problema

Um taxi que causou um acidente de trânsito se evadiu. Para julgar o caso, são fornecidos os seguintes dados: 85% dos taxis da cidade são da empresa Verde e 15% da empresa Azul. Uma testemunha que presenciou o acidente disse que o taxi era da empresa Azul. Essa testemunha foi colocada em teste e se verificou que nas condições do acidente, acertava a cor dos taxis 80% das vezes. Qual é a probabilidade de o taxi que causou o acidente ser da empresa Azul, dado que a testemunha disse que era da Azul?

                                             A solução

Este é um problema clássico de inferência bayesiana. Há duas fontes de informação: uma estatística populacional e o relato de uma testemunha não perfeitamente confiável. Essas duas informações devem ser combinadas usando o teorema de Bayes.

        Veja as probabilidades:

• P(A): Probabilidade de o taxi ser da empresa Azul (0,15).
• P(V): Probabilidade de o taxi ser da empresa Verde (0,85).
• P(T∣A): Probabilidade de a testemunha dizer que o taxi é da empresa Azul dado que o táxi é realmente da empresa Azul (0,80).
• P(T∣V): Probabilidade de a testemunha dizer que o taxi é da empresa Azul dado que o táxi é da empresa Verde (0,20).
• P(T): Probabilidade de a testemunha dizer que o táxi é da empresa Azul.

Queremos calcular P(A∣T), que é a probabilidade de o táxi ser da empresa Azul dado que a testemunha disse que era da empresa Azul. Usamos a fórmula de Bayes:

Portanto, a probabilidade de o táxi ser da empresa Azul dado que a testemunha disse que era da empresa Azul é de aproximadamente 41,4%.

ESTIMATION: problem set

                           SUMMARY

                          Here you will find five exercises on statistical estimation.

                        To solve them, you need to understand percentiles, uniform

                        distribution, exponential distribution, and confidence intervals.

HYPOTHESIS TESTING: PROBLEMS FOR ENGINEERS

SUMMARY                      

                                 Here, you will find six exercises on hypothesis testing.

                         To solve them, you need knowledge of the following concepts: 

                           Normal distribution, Binomial distribution, Hypothesis testing,

                           Hypothesis testing when the standard deviation is unknown, 

                                  Level of significance and Power of the test.

                                                 ###########################

                                           Os exercícios aqui apresentados são do livro:

                              Gibra,I.N. Probability and statistical inference for

                                                         scientists and engineers.

Teste de hipóteses (um parâmetro)

 

                             *****************************************************

RESUMO

Estão aqui apresentados quatro exercícios que exigem conhecimento dos seguintes tópicos: Erro tipo I. Erro tipo II. Probabilidade de erro tipo I. Probabilidade de erro tipo II. Alfa e beta. Poder do teste. Tamanho da amostra para ter poder do teste com valor especificado.

 

 Os exercícios aqui apresentados são do livro:

       Gibra, I.N. Probability and statistical inference for scientists and engineers.

                               

RUNS TEST OU TESTE DE RUNS OU TESTE DAS SEQUÊNCIAS

 RESUMO

Você encontra aqui: a definição de run ou sequência; o teste de runs para 

verificar se uma sequência de dados é aleatória; o teste de runs para verificar 

a aleatoriedade da amostra; e o procedimento para o teste de runs em uma amostra.

INTRODUÇÃO

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

RESUMO

 Você encontra aqui: o que é distribuição de Poisson; função de probabilidade

 da distribuição de Poisson; usos da distribuição de Poisson; 

média e variância da distribuição; aproximação da distribuição de Poisson

 pela distribuição normal; aproximação da distribuição binomial

 pela distribuição de Poisson; aditividade da distribuição de Poisson.

INTRODUÇÃO