Introdução
Já
vimos como calcular determinantes de matrizes 2×2 e 3×3. Agora vamos dar um
passo além: matrizes 4×4. Aqui, o método prático mais usado é a expansão de
Laplace. Aproveitaremos também para apresentar a definição formal de
determinante, com permutações — um pouco mais abstrata, mas fundamental para
entender como tudo se encaixa.
Determinante
de matriz 4 × 4: expansão de Laplace
Escolha
uma linha ou uma coluna (geralmente a primeira linha). Para cada elemento da
linha, elimine sua linha e coluna e calcule o determinante da submatriz 3×3
restante. O determinante será:
det(M) = a x A₁₁ − b x A₁₂ + c x A₁₃ − d x A₁₄
onde
Aᵢⱼ é o determinante da submatriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j e os sinais devm, obrigatoriamente, se alternar: +, −, +, −.
Exemplo
Escolhendo a 1ª
linha:
🔹 Elimine a linha
e a coluna de cada elemento da 1ª linha
🔹
Calcule os determinantes das 3×3 restantes
🔹 Aplique os
sinais: + − + −
Escolhemos a primeira linha porque tem um zero, o que simplifica os cálculos:
Para a11, o
determinante é
Para a13 o determinante é
Para a14 o determinante é
O determinante de M
é:
Definição formal de determinante (qualquer ordem)
O
determinante de uma matriz quadrada de ordem n é dado pelo somatório de n!
produtos, formados por um elemento de cada linha e cada coluna, multiplicados
por (−1)p, onde p é a paridade1 da permutação dos
índices da coluna.
Teorema
importante
Em
cada termo do desenvolvimento do determinante, aparece um e somente um elemento
de cada linha e um de cada coluna. Isso garante que o determinante é bem
definido.
Conclusão
Calcular
determinantes de ordem maior exige paciência — ou uma boa calculadora. Mas
entender a lógica por trás, como a expansão de Laplace e a definição com
permutações, nos prepara para usar as matrizes com segurança em qualquer área
científica.
1. Sobre paridade da permutação, termo que aparece na definição de determinante.
🧩 Complemento: O que é uma permutação?
Uma permutação é uma reordenação dos elementos de um conjunto.
Assim, as permutações dos números {1,2,3} são: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1),
(3,1,2), (3,2,1). São 6 permutações no total, porque 3! = 6.
Dados n elementos, uma de suas
permutações é a permutação fundamental. Se dois elementos estão
fora de ordem, dizemos que houve uma inversão. Se o número de inversões for par, o sinal é positivo, se for
ímpar, é negativo.
No exemplo, a permutação fundamental, 1, 2, 3 tem sinal positivo; 1, 3,
2 tem sinal negativo, porque 2 e 3 estão invertidos. Assim, (2,1,3), uma inversão, sinal negativo, (2,3,1), duas inversões, sinal
positivo, (3,1,2),
duas inversões, sinal positivo, (3,2,1),
três inversões, sinal negativo.
No caso de determinantes, lidamos com as permutações dos índices de
colunas (ou linhas). Cada termo da definição formal do determinante tem sinal
de acordo com o número de inversões de seus índices (a paridade).
📘 No próximo post: Propriedades dos determinantes — como elas podem acelerar os cálculos e evitar armadilhas.
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