Álgebra de matrizes I:Cálculo de determinante

1.           Permutação simples

Considere os elementos A₁, A₂, A₃,…, A_n..

Permutação simples de A₁, A₂, A₃,…, A_n é qualquer conjunto ordenado formado por todos esses elementos sem repetição, de tal maneira que um conjunto se distingue de outro apenas pela ordem de seus elementos.

O número de permutações simples de n elementos é n!

 Exemplo 1

Três crianças que chamaremos de A (Ana), B (Bia) e C (Cadu) vão formar uma fila para ganhar um sorvete. De quantas maneiras elas podem se ordenar? Quais são as permutações possíveis?

                           Número de maneiras como elas podem se ordenar:

Dados n elementos, chamamos uma de suas permutações de permutação fundamental ou principal. Se dois elementos de qualquer outra permutação desses mesmos elementos estiverem em ordem diferente daquela em que se apresentam na permutação fundamental, dizemos que houve uma inversão. Uma permutação é de classe par quando tem número par de inversões. Uma permutação é de classe ímpar quando tem número ímpar de inversões.

  2.   Teorema

 Se, em uma permutação, dois elementos quaisquer trocam de lugar, a permutação muda de classe.

 Sejam dois elementos consecutivos que não apresentam inversão em relação à permutação fundamental. Se eles trocarem de lugar entre si, passam a apresentar inversão. O número de inversões aumenta, então, uma unidade e a permutação muda de classe.

 Exemplo 2

Por outro lado, dois elementos consecutivos que apresentam inversão em relação à permutação fundamental deixam de apresentar inversão, se trocarem de lugar entre si. O número de inversões diminui de uma unidade e a permutação muda de classe.

 Exemplo 3

Reveja o Exemplo 1. Considere fundamental a permutação: A, B, C.

Se A e B trocam de lugar, o número de inversões aumenta uma unidade; a permutação B, A, C é de classe ímpar.

Agora, a permutação C, B, A tem três inversões: C-B, C-A, B-A. Se B e A trocam de lugar, o número de inversões diminui para dois; a permutação C, A, B é de classe par.

3. Matriz quadrada

Matriz é um conjunto de números arranjados da seguinte forma:

A matriz quadrada é constituída por n linhas e n colunas, cada uma com n elementos. Então uma matriz quadrada tem n² elementos.

O primeiro índice de cada elemento indica a linha e o segundo índice indica a coluna. Apenas como exemplo, o elemento a₃₂ está na terceira linha e na segunda coluna.

Diagonal principal de uma matriz quadrada é a diagonal formada pelos elementos que têm os dois índices iguais como a₁₁, a₂₂,… a_nn.

Diagonal secundária de uma matriz quadrada é a diagonal formada pelos elementos a_1n, a_2(n-1),… a_n1,que têm soma dos dois índices igual a n+1.

Elementos simétricos são todos os elementos do tipo a_rs a_sr.

Matriz simétrica é aquela que, para todo r e s, r=s.

Determinante de uma matriz é um número calculado a partir de uma matriz quadrada. Mas vamos entender o que é determinante a partir de casos particulares e depois veremos a definição. 

Matriz 2 x 2

É dada uma matriz 2 x 2, isto é, uma matriz com duas linhas e duas colunas.

 O determinante dessa matriz, que se indica entre linhas, é 

Só para lembrar, visualize o produto cruzado

Exemplo 4

Dada a matriz 2 x 2 abaixo, vamos calcular o determinante.

O determinante é 

Matriz 3 x 3 

É dada uma matriz 3 x 3, isto é, uma matriz com três linhas e três colunas. 

 Para obter o determinante dessa matriz, veja o esquema:

Então, você calcula:

Veja a regra:

1. Multiplique a pelo determinante da matriz 2 × 2 que não está na linha nem na coluna em que está a.

2. Proceda da mesma forma, para b e para c, elementos da primeira linha.

3. Note que a alternância dos sinais: + para a, - para b,+ para c. 

Exemplo 5

É dada uma matriz 3 x 3:

Matriz 4 x 4 e maiores

É dada uma matriz 4 x 4:

É dada uma matriz 4 x 4:

Para obter o determinante:

           1. Multiplique o elemento a, com sinal positivo, ao determinante da matriz que não contem a linha em que está a  nem a coluna em que está a;

           2. Multiplique o elemento b, com sinal negativo, ao determinante da matriz que não contem a linha em que está b  nem a coluna em que está b;

          3. Multiplique o elemento c, com sinal positivo, ao determinante da matriz que não contem a linha em que está c  nem a coluna em que está c;

          4. Multiplique o elemento d, com sinal negativo, ao determinante da matriz que não contem a linha em que está d  nem a coluna em que está d.

Difícil? Use uma calculadora de matrizes (matrix calculator). Mas saiba que esta é a maneira mais fácil de entender como calcular o determinante de uma matriz. É a expansão de Laplace.

Mas veja aqui a definição de determinante:

É o somatório dos n! produtos obtidos da diagonal principal deixando fixos os primeiros índices e considerando todas as permutações possíveis dos segundos índices precedidos de sinais positivos ou negativos conforme seja par ou ímpar o número de permutações, o que equivale a multiplicar cada produto por (-1)^p onde p é a classe de permutações dos segundos índices. Logo:

Exemplo 6

Veja de onde foram copiados os desenhos:

http://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-determinant.html

ANOVA:transformação de variáveis

     As pressuposições exigidas para proceder a uma ANOVA (análise de variância) nem sempre são perfeitamente atendidas quando se tem dados reais. Mas o pesquisador que escolhe proceder à ANOVA precisa ter segurança de que seus dados atendem, mesmo que não completamente, às pressuposições exigidas.

    Já sabemos que pequenos desvios do pressuposto de normalidade não afetam seriamente a validade da análise de variância, principalmente quando os grupos são de tamanhos iguais ou praticamente iguais. Pequenas transgressões da pressuposição de igualdade de variâncias também têm pouca importância prática, exceto em duas situações: 1) de assimetria; 2) de curtose positiva.

De qualquer forma, o teste F é o mais poderoso dos testes disponíveis, quando as pressuposições para sua aplicação são atendidas. Quando isso não acontece, o pesquisador deve recorrer aos testes não-paramétricos ou transformar os dados. As transformações foram propostas para estabilizar a variância, mas em geral também eliminam a não-normalidade.

Mas o que significa transformar os dados? Você executa uma operação matemática em cada observação, para depois fazer o teste estatístico com os dados transformados. Vejamos as transformações mais conhecidas.

1.Raiz quadrada

 Variáveis obtidas por processo de contagem não tem variância constante nem distribuição normal. No entanto, são relativamente comuns os ensaios em que a variável em análise resulta de um processo de contagem. Por exemplo, um médico pode estudar a prevalência de lesões por fricção em pacientes hospitalizados com câncer, um agrônomo pode contar o número de frutos em ramos de determinado diâmetro em pomares de laranja, um biólogo pode contar colônias de bactérias em placas de Petri.

Para analisar dados de contagem, recomenda-se extrair a raiz quadrada de cada observação. Essa nova variável tem, em geral, variância constante. Considere os dados (fictícios) de contagem apresentados na Tabela 1. Verifique que transformar a variável, ou seja, extrair a raiz quadrada dos dados diminui a heterogeneidade das variâncias.

Tabela 1- Dados de contagem e respectivas transformadas (raiz quadrada) segundo o grupo

Se os dados são pequenos (menores do que 10) ou há muitos zeros, recomenda-se analisar, em lugar da variável X em estudo, a variável 

 2.Logaritmos

Muitas variáveis na área de biologia têm distribuição lognormal. Então, analisar não a variável coletada, mas a variável transformada, isto é, o logaritmo (decimal ou neperiano) dessa variável, ajuda a estabilizar a variância e tornar a distribuição normal. Mas como se reconhece a necessidade da transformação logarítmica?

Se a variância dos grupos cresce com a média, é razoável optar pela variável transformada para a análise. A explicação é a de que, se a variável que você estuda é resultante de vários fatores que se multiplicam, então essa variável tem distribuição lognormal. Um exemplo é a altura das árvores de um pomar. A altura de uma árvore é afetada pelo solo, quantidade de água, de luz solar, de ventos etc. Então a variável altura das árvores de um pomar tem distribuição lognormal. Também deve ter distribuição lognormal o tempo de sobrevivência de bactérias em desinfetantes, o peso e a pressão sanguínea das pessoas.

Considere os dados (fictícios) apresentados na Tabela 2. Verifique que a transformação logarítmica torna a distribuição normal, como mostra a Figura 1 e diminui a heterogeneidade das variâncias, conforme mostram os resultados apresentados na Tabela 2.

 Tabela 2- Dados e respectivas transformadas (logaritmo decimal) segundo o grupo

Figura 1 - Gráficos Q-Q para os resíduos: na parte superior, com a variável transformada

 e na parte inferior, com a variável coletada

3. Arco seno raiz da proporção

Em alguns ensaios, os valores que podem ser contados têm um máximo preestabelecido. Nesses casos, a variável em análise é uma proporção, que pode estar ou não expressa em porcentagem. Como exemplo, considere o número de dentes presentes na boca. O máximo é 32. Então, a variável em análise é a proporção de dentes presentes.

Proporção não se confunde com contagem. Na contagem, não existe um limite preestabelecido para o valor máximo que pode ser contado. Por exemplo, o número de nódulos em raízes de leguminosas é uma contagem, porque não existe um valor máximo teórico que não pode ser ultrapassado. Já a porcentagem de germinação de sementes em vaso tratadas por diferentes processos é uma proporção, porque nesses experimentos contam-se as sementes postas para germinar.

Se as proporções calculadas variarem entre 0,3 e 0,7, a análise de variância pode ser feita sem transformação prévia, mas se existirem muitos valores fora desse intervalo, deve-se transformar a variável para homogeneizar as variâncias. Recomenda-se, nesses casos, a transformação arco seno da raiz da proporção.

Observe os dados (fictícios) da Tabela 3. A variável é uma proporção. Os dados e os valores transformados (arco seno da raiz da proporção) estão na mesma tabela.

 Tabela 3- Dados e respectivas transformadas (arco seno raiz da proporção) segundo o grupo

Para quem tem pouco conhecimento de estatística, transformar dados pode parecer uma manipulação duvidosa, feita com a única finalidade de se chegar ao que se quer. Por conta disso, o pesquisador que transforma seus dados precisa saber defender o que fez. E é sempre recomendável aplicar a transformação que é comum entre os pesquisadores de sua área de estudo.

Mesmo que você tenha feito um teste estatístico com a variável transformada, como a raiz quadrada do número de colônias de bactérias em placas de Petri, não é boa ideia relatar médias, erros padrões etc. em unidades transformadas. Um gráfico que mostrasse a média da raiz quadrada da variável em análise não expressaria o valor que um biólogo espera na condição estudada. É preciso voltar a variável na forma coletada, para apresentar as estatísticas descritivas e os gráficos. Isso envolve fazer o oposto da função matemática usada na transformação de dados. Mas cuidado nessa volta!

Nota: os gráficos foram feitos com os resíduos. Os dados das tabelas 1 e 2 são poucos para mostrar a diferença no aspecto dos gráficos que indicam a normalidade ou não-normalidade da variável.