Inversão de matrizes: como resolver sistemas lineares

 

  Introdução

 A inversão de matrizes é uma das ferramentas mais elegantes da álgebra linear. Ela permite resolver sistemas lineares de forma compacta e eficiente. Neste post, você vai aprender:

🔹 O que é matriz inversa?
🔹 Como inverter uma matriz 2×2?
🔹 Quando uma matriz é singular?
🔹 Como usar a matriz inversa para resolver AX = B?
🔹 Como é a Regra de Cramer para matriz 2 x 2?

1.     O que é matriz inversa?

Dizemos que a matriz A tem inversa quando existe uma matriz A⁻¹ tal que

                                AA⁻¹ = A⁻¹A = I,

onde I é a matriz identidade. A matriz A deve ser, necessariamente, quadrada e diferente de zero.

2.     Como inverter uma matriz 2×2

  Exemplo

Seja     

                               

      Passo 1: Definir A⁻¹

        Seja a matriz

                            

        tal que

                         

     Passo 2: Multiplicar as matrizes  

         Para achar a inversa, multiplicamos as duas matrizes e – para que a equação seja                  verdadeira – é preciso resolver as quatro equações:

           1ª linha x 1ª coluna:

                   

          1ª linha x 2ª coluna:

                   

          2ª linha x 1ª coluna:

                  

         2ª linha x 2ª coluna:

                   

       Passo 3: Resolver os dois sistemas de equações

                               

    Resolvendo os sistemas, obtém-se:

                                      x= 4/5;   y =-3/5;    w =-1/5;    z= 2/5

         A matriz inversa é

                             

        A matriz inversa A⁻¹ de A  também é obtida pela fórmula

                                

        3. Quando uma matriz é singular

        Uma matriz é singular quando não tem inversa. Isto acontece quando:                     

          🔹A matriz não é quadrada ou

          🔹O determinante é zero.

       4. Como usar a matriz inversa para resolver AX = B?

                    Se A é invertível, podemos isolar X. Então, se

                     AX = B   Þ   X = A⁻¹B.

     Exemplo

                    São dados

                         

                   Para obter a matriz inversa A⁻¹ de A  vamos aplicar a fórmula

                       

                   O determinante de  A é

                            1 x 4 -2 x 3 = -2

                  Então

                       
                  

                  Para achar X   

                         

                   5. Como é a Regra de Cramer para matriz 2 x 2?

A regra de Cramer é mais direta para a resolução de sistemas pequenos (2x2, 3x3 e, até mesmo, 4x4, pois envolve apenas determinantes. Então, dado um par de equações simultâneas 

$\mathrm{<br\; clear="ALL"\; style="mso-ignore:\; vglayout;">}$

                a₁₁x + a₁₂y = b₁

                a₂₁x + a₂₂y = b₂

 

Usando a regra de Cramer, podemos achar a solução dessas equações calculando a razão entre dois determinantes. Veja o passo a passo. 

        1.     Calcule D (o determinante da matriz dos coeficientes)

2.     Calcule Dx  (substitua a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes)

                                     

     3.     Calcule D_y (substitua a coluna dos coeficientes de  y pelos termos independentes)

                            

   4.     Encontre as soluções

🔹  Se $\mathrm{<span\; style="border:\; 1pt\; none\; windowtext;\; color:\; \#404040;\; padding:\; 0cm;">D<mo\; mathvariant="normal">\ne </mo><mn>0</mn><span\; style="text-indent:\; -18pt;"> o\; sistema\; tem\; solução\; única:</span></span>}$

                                   
         🔹 Se D = 0  e  Dx = Dy = 0, o sistema tem infinitas soluções.   

$$\mathrm{<!--[endif]--><span\; face=""Segoe\; UI",sans-serif"\; style="color:\; \#404040;"><span\; style="overflow:\; hidden;"></span></span>}$$

      🔹 Se $\mathrm{<span\; style="border:\; 1pt\; none\; windowtext;\; color:\; \#404040;\; padding:\; 0cm;"><i>D</i> <mo\; mathvariant="normal">= </mo><mn>0</mn><span\; style="text-indent:\; -18pt;"> \; e <i>D<span\; style="font-size:\; xx-small;">x</span></i> </span>\ne \; 0\; ou <span\; style="text-indent:\; -18pt;"><i>D<span\; style="font-size:\; xx-small;">y</span></i> </span>\ne <span\; style="text-indent:\; -18pt;"> 0,\; o\; sistema\; não\; tem\; solução.</span><strong\; style="font-family:\; inherit;\; text-indent:\; -18pt;"> </strong></span>}$

$\mathrm{<span\; style="border:\; 1pt\; none\; windowtext;\; color:\; \#404040;\; padding:\; 0cm;"><strong\; style="font-family:\; inherit;\; text-indent:\; -18pt;"><br></strong></span><span\; style="border:\; 1pt\; none\; windowtext;\; color:\; \#404040;\; padding:\; 0cm;"><strong\; style="font-family:\; inherit;\; text-indent:\; -18pt;"> </strong><b>Exemplo</b></span>}$

            

                6. A importância de saber sobre inversão de matriz

        A inversão de matrizes e a Regra de Cramer são formas poderosas de resolver sistemas lineares. 

Matrizes e determinantes são ferramentas extremamente úteis em várias áreas do conhecimento. Um problema central da álgebra linear é a solução da equação matricial

                                        AX = B

para X. Embora em teoria isso possa ser resolvido por outras técnicas, é comum achar X fazendo uso de uma matriz inversa:

                                        X= A^-1 B

Tecnicamente, não se faz uma divisão de matrizes. A operação equivalente da “divisão” de uma matriz B por uma matriz A é a multiplicação de B pela inversa de A. Você aceita isso facilmente quando se trata de escalares. Por exemplo, dividir 10 por dois equivale a multiplicar dez por meio:

 

                                10 ÷ 2 = 10 x ½ = 5

 

No entanto, você não pode multiplicar matrizes pensando que pode aplicar a elas as mesmas propriedades que usa com escalares. 

 

De qualquer modo, se você quiser “dividir” a matriz A pela matriz B, a matriz B precisa ser não singular, isto é, tem de ser possível obter a inversa de B. Portanto, B deve ser uma matriz quadrada com determinante diferente de zero. E não se esqueça de que A x B^-1 não é igual a B^-1 x A.

 

DICA

 

               Para inverter matrizes, aprendida a lógica, mas depois use o software

                   que você conhece. Para quem começa, há várias ajudas online. 

                                     

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INVERSE MATRIX CALCULATOR

 e achará várias calculadoras. Veja estes.

 https://www.omnicalculator.com/math/matrix-inverse

 

Inverse of a Matrix - Math is Fun

https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-inverse.html