Avaliação tipo A da incerteza da medição

Incerteza da medição significa dúvida acerca da validade do resultado de uma medição. Na verdade, todo resultado de medição está associado a um grau de incerteza  explicada por diversos fatores: a limitação da precisão do instrumento, o procedimento utilizado, o próprio operador. Quando você relata o resultado da medição de um mensurando deve, portanto, escrever

 (X + ∆X) unidade de medida

em que X é a melhor estimativa do valor do mensurando e DX é a incerteza  do resultado da medição. É razoável inferir que os resultados obtidos de outras medições do mesmo mensurando em iguais condições estarão, provavelmente, no intervalo (X - ∆X) a (X + ∆X).

Para obter a incerteza da medição, uma das práticas mais comuns é medir o mesmo mensurando repetidas vezes, nas mesmas condições e usar métodos estatísticos para a análise dos resultados.

Avaliação tipo A da incerteza-padrão 

A avaliação Tipo A da incerteza é qualquer método de avaliar a incerteza do resultado de uma medição em que se use análise estatística de uma série de observações. 

Vamos entender o procedimento para avaliação tipo A da incerteza-padrão, também conhecida como incerteza ao nível do desvio padrão. Se você obtiver resultados de n medições do mesmo mensurando em iguais condições, isto é

x₁, x₂, x₃, . . . .x_i, . . .x_n

Você calcula a média aritmética dos resultados, que é a melhor estimativa do valor do mensurando:

O desvio padrão experimental é

Nota: Veja a postagem Desvio padrão: medida da dispersão dos resultados de medições, neste blog.

A avaliação tipo A da incerteza-padrão  é a dada pelo desvio padrão experimental. Expressa, portanto, a incerteza do resultado de uma medição em termos do desvio padrão. É indicada, principalmente na literatura em língua inglesa, pela letra u(X)( u de uncertainty). 

Se a média aritmética e o desvio padrão experimental foram obtidos a partir de um número grande de medições (15 ou 20 são suficientes), a probabilidade de uma nova medição cair no intervalo indicado na figura abaixo é aproximadamente 68,3% (perto de ⅔).

desvio padrão 

Vamos imaginar agora outra situação: se o procedimento descrito for repetido várias vezes e produzir vários conjuntos de resultados de n medições, cada conjunto de resultados terá estimativas diferentes de média e desvio padrão. 

Apenas como exemplo, imagine que, por quatro vezes, você fez cinco medições do tempo de oscilação de um pêndulo. Os resultados (fictícios) estão na tabela dada em seguida. Você terá quatro médias aritméticas e quatro desvios padrões experimentais. A média dessas médias é a melhor estimativa do valor do mensurando.

Resultados das medições do tempo de oscilação de um pêndulo em quatro conjuntos, com as médias e desvios padrões

Então, se você obtiver k vezes n resultados individuais de medições do mesmo mensurando em iguais condições, você poderá calcular k médias. Como essas médias foram obtidas de vários resultados, devem variar menos entre si do que os resultados individuais de medições do mesmo mensurando.

Mas para medir a dispersão das médias de n medições do mesmo mensurando, nas mesmas condições, você precisaria fazer n medições do mensurando, um número infinito de vezes, o que é impossível. Os estatísticos teóricos, porém, já demonstraram: o desvio padrão experimental da média é calculado pela expressão:

Você pode, então, obter o desvio padrão experimental da média, mesmo que só tenha feito uma medição. Se você só tivesse feito a primeira medição, teria média 3,6 s e desvio padrão experimental igual a 0,2 s. O desvio padrão da média seria:

Para indicar avaliação Tipo A da incerteza da média, podemos escrever

Se a média e o desvio padrão experimental da média foram obtidos a partir de um número n de medições, é aproximadamente 68,3% a probabilidade de uma nova media cair no intervalo 

                                        

EXEMPLO

   1.               São dados os resultados de cinco medições do comprimento de uma folha                    

31,33 cm

31,15 cm

31,26 cm

31,02 cm

31,20 cm

                  A média é:

                         

          Para calcular o desvio padrão experimental

Literatura

1.               Uncertainties and Error Analysis Tutorial (http://physics.wustl.edu)

2.               Essentials of expressing measurement uncertainty http://physics.nist.gov/,

3.             Avaliação de dados de medição — Guia para a expressão de incerteza de medição

http://www.inmetro.gov.br/noticias/conteudo/iso_gum_versao_site.

4.               Mean, standard deviation and standard uncertainty. https://sisu.ut.ee/measurement/32

Incerteza absoluta e incerteza relativa

A precisão da medição de uma variável continua depende da resolução do instrumento de medida. Essa resolução é definida pela menor distância que pode fazer um valor mudar. Se a graduação for muito baixa, pode dar medidas iguais para o mesmo objeto.

Por exemplo, os resultados da medição do diâmetro de um lápis com uma régua graduada em centímetros, provavelmente terão precisão zero, porque as medidas serão todas iguais entre si. No entanto, se o instrumento de medida for um paquímetro graduado em décimos de milímetros, a precisão será maior.

Quando nos deparamos com o resultado de uma única medição, para avaliar a precisão da medida devemos considerar a resolução do instrumento de medida. Se para medir comprimento for usada uma régua, podem ser visualizados valores com resolução de até metade do valor da escala.

Veja o caso do bebê, que tem 50 cm de comprimento. Se formos informados que a enfermagem usa um instrumento de medida graduado em centímetros, o comprimento do ebê está entre 49,5 cm e 50,5 cm. Escrevemos: (50,0 ± 0,5) cm. Está assim explícita a incerteza sobre o resultado da medição: essa incerteza é de 0,5 cm, para mais ou para menos. Talvez o operador tenha visto o que está na figura abaixo.

No exemplo, a incerteza é explicada apenas pela limitação do instrumento de medição, que se entende esteja calibrado. Escreve-se X + DX, em que DX é a incerteza. Nos casos em que se faz uma única medição, a incerteza não é avaliada por estatística (desvio padrão). É a chamada incerteza tipo B.

Veja agora a massa do bebê: a menor divisão da escala da balança em que o bebê foi medido é 10 g = 0,01 kg. Para explicitar que 3,54 kg está associada a certo grau de incerteza, considere que o valor medido está entre 3,535 kg e 3,545 kg. Escreva: (3,54 ± 0,005) kg. O operador poderia ter visto o que está na figura abaixo.

Você vai achar, na literatura, o termo erro, para expressar incerteza. Prefere-se o termo incerteza em lugar do termo erro, porque o valor verdadeiro da medida não é conhecido (ISO, 34). De qualquer forma, quando escrevemos X + DX, o incremento DX é a incerteza absoluta (ou erro absoluto, em desuso).

Vamos definir agora incerteza relativa  como segue:

A incerteza relativa ou erro relativo mostra quão grande é a incerteza absoluta, em relação ao tamanho do que foi medido. A incerteza relativa é expressa como uma fração ou, mais convenientemente, como uma porcentagem. Para obter a incerteza relativa em porcentagem, multiplique o resultado da divisão por 100. Em porcentagem, a incerteza relativa é

EXEMPLO

No velocímetro do carro, a menor divisão da escala é 2 km/h. Se você ler no velocímetro 60 km/h, qual é a incerteza relativa? A incerteza absoluta é 1 km/h e a incerteza relativa é 1/100 =0,01 ou 1%. 

Tudo bem até aqui. De qualquer forma, as definições de incerteza absoluta e incerteza relativa, tratadas aqui, foram aplicadas para incerteza avaliação tipo B, mas são igualmente válidas para avaliação tipo A.

No entanto, você ainda pode perguntar: que medida foi feita com maior precisão, a massa ou o comprimento? Não se comparam grandezas físicas diferentes, mas podemos comparar incertezas relativas.

A incerteza relativa é adimensional, isto é, não tem unidade de medida. Isto acontece porque a incerteza absoluta e o resultado da medição são dados na mesma unidade – que então se cancelam. Por ser adimensional, a incerteza relativa é útil para comparar a precisão de grandezas físicas diferentes.

EXEMPLO

Vamos mostrar isso com o exemplo do bebê. Para comprimento, a incerteza relativa é

Para massa, a incerteza relativa é

Podemos então fazer a comparação: a precisão da medida de massa é maior. 

     Para resolver os exercícios, lembre-se de que:

Se o instrumento mede em 1’s, qualquer medida entre 6,5 e 7,5 é lido como 7.

Se o instrumento mede em 2’s, qualquer medida entre 7 e 9 é lido como 8.

EXERCÍCIOS

1.  Você mediu a altura de uma criança com um instrumento graduado em centímetros. Leu 80 cm. Pode dizer a incerteza?

2.  Você mediu a temperatura de uma criança com um termômetro graduado em graus Celsius. A menor divisão da escala é 2ºC. Leu 38ºC. Pode dizer a incerteza?

Respostas

1 Altura H=(80±0,5)cm; incerteza absoluta=0,5 cm; incerteza relativa em porcentagem=(0,5/80)x 100=0,625%.

2 Temperatura t=(38±1)ºC; incerteza absoluta=1ºC; incerteza relativa em porcentagem=(1/38) x 100=2,63%.

VEJA:

1.    http://mathforum.org/library/drmath/view/65797.html

2.    ISO. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement.  International Organization for Standardization (ISO) and the International Committee on Weights and Measures (CIPM): Switzerland, 1993.

3.    chemistry.about.com/od/workedchemistryproblems/fl/Absolute-Error-and-Relative-Error-Calculation.htm Absolute Error and Relative Error Calculation

4.    http://www.mathsisfun.com/measure/error-measurement.html

5.    http://mathforum.org/library/drmath/view/65797.html

Exatidão e precisão

Exatidão significa o grau de concordância entre o resultado da medição e o valor verdadeiro da grandeza. Quanto mais exato for o sistema, mais próximo do valor verdadeiro estará o resultado da medição.

Na prática, o valor verdadeiro não é conhecido. A exatidão descreve, então, a proximidade do resultado da medição com um valor padrão ou de referência ou por técnica reconhecida de medição.

Precisão é o grau com que repetidas medições da mesma grandeza fornecem resultados muito próximos. Os valores só diferem uns dos outros devido aos erros aleatórios. Quanto maior for a precisão, menor será a dispersão dos dados.

É importante entender que exatidão e precisão são conceitos diferentes. A ilustração clássica da distinção entre tais conceitos é dada pelos jogos de tiro ao alvo:

·     Flechas no centro do alvo e próximas uma das outras indicam exatidão e precisão.

·      Flechas bem próximas umas das outras (mesmo que longe do alvo) indicam precisão.

·           Flechas afastadas do alvo e dispersas indicam nem exatidão, nem precisão.

Para medir exatidão e precisão, mede-se repetidamente a mesma grandeza:

·       Exatidão é dada pela diferença entre a média dos resultados de suas medições e o valor verdadeiro das medidas.

·         Precisão é dada pelo desvio padrão dos resultados de suas medições. 

EXEMPLO

Você mediu uma peça três vezes e obtive os resultados:

15,0 pol.; 15,1 pol.; 14,9 pol.

Houve precisão e você escreve:

(15,0±0,01) pol.

Mas se o valor verdadeiro for 40,0 cm, houve exatidão?

Uma polegada são 2,54 centímetros.

Então 15,0 X 2,54 = 38,1 cm. Faltou exatidão.

A exatidão e a precisão dos resultados das medições são atributos diferentes: exatidão indica quão perto as medidas estão do valor verdadeiro (ou de referência), enquanto a precisão mede quão perto as medidas estão umas das outras, mesmo que elas estejam longe do valor verdadeiro.

EXEMPLO

Veja outro exemplo de exatidão e precisão de medidas tomadas experimentalmente. Foram feitas medições de um corpo de prova com 100 mg. Se foram obtidos os valores 98,5; 98,6; 98,7; 98,5, os resultados são precisos, mas pouco exatos. Se foram obtidos os valores 99,6; 101,6; 99,6; 100,5, os resultados são exatos, mas pouco precisos.

É importante lembrar: aparelhos têm, em geral, boa precisão, mas, devido ao muito uso ou aos maus tratos, podem não estar calibrados. Então, não considere corretos resultados apenas porque eles são precisos – eles também precisam ter exatidão.

Para julgar a exatidão e a precisão dos resultados das medições, calculam-se a tendência e o desvio padrão.

Tendência ou viés (também referida em inglês, bias) é a diferença entre o valor convencional ou de referência e a média das medidas obtidas de uma grandeza, nas mesmas condições.

O desvio padrão, que se indica por s, é uma medida da dispersão dos dados de uma amostra. Então, se você tem uma série de resultados de medições (uma amostra das medições possíveis), o desvio padrão é dado pela fórmula:

EXEMPLO

Reveja o primeiro exemplo desta postagem. Você mediu uma peça três vezes e obteve os resultados:

15,0 pol.; 15,1 pol.; 14,9 pol.

A média das medidas é 15,0 pol. O valor verdadeiro é 40 cm =15,7 pol. A tendência ou bias é:

Bias = 15,7-15,0=0,7

Para calcular o desvio padrão, que é uma medida da dispersão, use o EXCEL, mas veja o procedimento de cálculo na tabela abaixo, lembrando que desvio é diferença entre o valor observado e a média.

Agora, observe as figuras abaixo, que apresentam, “em teoria”, erros de medição: na primeira, você, você vê resultados de infinitas medições feitas por dois operadores. Ambos obtiveram medidas exatas (tendência igual a zero), mas o que apresentou a curva em vermelho teve precisão maior do que o que apresentou a curva em preto.

Na segunda figura, você também vê resultados de medições feitas por dois operadores. Ambos obtiveram medidas com igual precisão, mas a exatidão do que apresentou a curva à direita é maior – considerando que o valor verdadeiro está marcado em vermelho. 

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