Imagine uma série temporal como, por exemplo, o número de óbitos
por dia devido à COVID-19. Sejam yt os
valores da variável em análise. A média móvel simples de k
termos é
obtida somando k termos consecutivos
da série e dividindo o resultado por k.
Então, dada a série de valores yt
onde t = 1, 2, ..., n, as médias móveis simples de k
termos ou, como também se diz, as médias móveis simples de ordem k
dessa série são dadas por:
Exemplo
Você quer calcular médias móveis
de 3 termos da série 24, 25, 28, 29, 30. Então, calcule a média dos três
primeiros termos (24, 25, 28), que será a primeira média móvel (25,67). Depois,
descarte o primeiro termo usado para calcular essa primeira média móvel e
calcule a média dos três seguintes (25, 28, 29), que será a segunda média móvel
(27,33). Descarte o primeiro termo usado para calcular essa segunda média móvel
e calcule a média dos três seguintes (28, 29,30), que será a última da série
(29,00).
Você agora resolveu calcular
médias móveis de 4 termos. O procedimento é o mesmo, lembrando apenas que cada
média é calculada com quatro termos.
As médias móveis podem ser alocadas
junto ao último número dos k números
com que foi calculada. No exemplo, você calculou médias móveis de ordem k = 3. Então você escreveu a primeira média
móvel (25,67) junto ao terceiro número (28) dos k = 3 números com que foi calculada. A segunda média móvel (27,33) você
escreveu junto ao quarto valor da série, ou seja, junto ao terceiro número dos k = 3 números com que foi calculada (29)
e assim fez com a terceira média móvel.
No entanto, as médias móveis são,
em geral, centralizadas, isto é, são colocadas no
centro do intervalo de valores usados para seu cálculo. Para apresentar médias
móveis centralizadas, é importante saber se o número k de termos da média móvel é par ou ímpar.
Se a média
móvel simples for de ordem ímpar, isto é, se cada média móvel for calculada
com k = 2m + 1 termos, em que m é
um número positivo, fica fácil centralizar as médias móveis. Por exemplo, para k = 3, a primeira média móvel,
calculada com os três primeiros termos da série, é colocada junto ao segundo
valor da série, porque o centro de 1º, 2º e 3º fica no segundo termo. A segunda
média móvel é colocada junto ao terceiro valor da série, porque o centro de 2º,
3º e 4º fica no terceiro termo e assim por diante.
Exemplo
São dados os primeiros termos de
uma série temporal: 24, 25, 28, 29, 30. Ache as médias móveis simples de 3
termos e as centralize. Como você já calculou as médias móveis de 3 termos no
exemplo anterior, vamos apenas escrever as médias móveis centralizadas.
Note que não podem ser obtidos os valores da média móvel para o primeiro e o último período. Os valores que faltam são indicados por asterisco (*).
São bastante comuns médias móveis com número ímpar de termos como 3, 5, 7, etc. porque, nesses casos, os valores de média móvel ocupam posições centrais no tempo. Há observações de ambos os lados de cada média móvel, que fica no meio. Há simetria.
Não veremos nesta postagem o cálculo de médias móveis com número par de termos, isto é, com k = 2m termos, em que m é um número positivo. Isso será assunto de outra postagem. Mas vamos ver aqui por meio de um exemplo o fato de que, quanto maior for o valor de k, mais suavizada será a curva.
É dado o número de carros vendidos por mês em
cidade. Ache as médias móveis de ordem 3, de ordem 5, de ordem 7. Veja que, com
as médias móveis de ordem 7, a curva é mais suave.
