Médias móveis: cálculo

Imagine uma série temporal como, por exemplo, o número de óbitos por dia devido à COVID-19. Sejam y_t os valores da variável em análise. A média móvel simples de k termos é obtida somando k termos consecutivos da série e dividindo o resultado por k. Então, dada a série de valores y_t  onde t = 1, 2, ..., n, as médias móveis simples de k termos ou, como também se diz, as médias móveis simples de ordem k  dessa série são dadas por:

Exemplo

Você quer calcular médias móveis de 3 termos da série 24, 25, 28, 29, 30. Então, calcule a média dos três primeiros termos (24, 25, 28), que será a primeira média móvel (25,67). Depois, descarte o primeiro termo usado para calcular essa primeira média móvel e calcule a média dos três seguintes (25, 28, 29), que será a segunda média móvel (27,33). Descarte o primeiro termo usado para calcular essa segunda média móvel e calcule a média dos três seguintes (28, 29,30), que será a última da série (29,00).

Você agora resolveu calcular médias móveis de 4 termos. O procedimento é o mesmo, lembrando apenas que cada média é calculada com quatro termos.

 

As médias móveis podem ser alocadas junto ao último número dos k números com que foi calculada. No exemplo, você calculou médias móveis de ordem k = 3. Então você escreveu a primeira média móvel (25,67) junto ao terceiro número (28) dos k = 3 números com que foi calculada. A segunda média móvel (27,33) você escreveu junto ao quarto valor da série, ou seja, junto ao terceiro número dos k = 3 números com que foi calculada (29) e assim fez com a terceira média móvel.

No entanto, as médias móveis são, em geral, centralizadas, isto é, são colocadas no centro do intervalo de valores usados para seu cálculo. Para apresentar médias móveis centralizadas, é importante saber se o número k de termos da média móvel é par ou ímpar.

Se a média móvel simples for de ordem ímpar, isto é, se cada média móvel for calculada com k = 2m + 1 termos, em que m é um número positivo, fica fácil centralizar as médias móveis. Por exemplo, para k = 3, a primeira média móvel, calculada com os três primeiros termos da série, é colocada junto ao segundo valor da série, porque o centro de 1º, 2º e 3º fica no segundo termo. A segunda média móvel é colocada junto ao terceiro valor da série, porque o centro de 2º, 3º e 4º fica no terceiro termo e assim por diante.

                                               Exemplo

São dados os primeiros termos de uma série temporal: 24, 25, 28, 29, 30. Ache as médias móveis simples de 3 termos e as centralize. Como você já calculou as médias móveis de 3 termos no exemplo anterior, vamos apenas escrever as médias móveis centralizadas.

Note que não podem ser obtidos os valores da média móvel para o primeiro e o último período. Os valores que faltam são indicados por asterisco (*).

São bastante comuns médias móveis com número ímpar de termos como 3, 5, 7, etc. porque, nesses casos, os valores de média móvel ocupam posições centrais no tempo. Há observações de ambos os lados de cada média móvel, que fica no meio.  Há simetria. 

Não veremos nesta postagem o cálculo de médias móveis com número par de termos, isto é, com k = 2m termos, em que m é um número positivo. Isso será assunto de outra postagem. Mas vamos ver aqui por meio de um exemplo o fato de que, quanto maior for o valor de k, mais suavizada será a curva.

É dado o número de carros vendidos por mês em cidade. Ache as médias móveis de ordem 3, de ordem 5, de ordem 7. Veja que, com as médias móveis de ordem 7, a curva é mais suave.