MATRIZES (2): determinantes

 

        Matrizes e determinantes são fundamentais na álgebra linear. Nesta postagem, vamos ver matrizes quadradas e seus determinantes.

2.1.       Definição de matriz

         Matriz é um conjunto retangular de números ou elementos distribuídos em m linhas e n colunas, em que m e n são números inteiros positivos. Dizemos que é uma matriz m x n (lê-se m por n), ou de ordem m x n. O arranjo deve ser delimitado por colchetes ou parêntesis.

Cada a_ij é um elemento da matriz. Nessa matriz, i =1, 2,..., n e j = 1, 2,..., m. O primeiro índice de cada elemento indica a linha e o segundo índice indica a coluna. Apenas como exemplo, o elemento a₃₂ está na terceira linha e na segunda coluna. As matrizes são indicadas por letras maiúsculas em negrito.

2.2. Tipos de matrizes

 

   2.2.1. Matriz coluna

Matriz coluna ou vetor coluna: é a matriz com uma única coluna, ou seja, é uma matriz de ordem m x 1.

                                        Exemplo

Veja uma matriz coluna 3 x 1:

              2.2.2. Matriz linha

Matriz linha ou vetor linha: é a matriz com uma única linha, ou seja, é uma matriz de ordem 1 x n.

                                                   Exemplo

Veja uma matriz linha 1 x 6:

   2.2.3. Matriz nula

Matriz nula ou vetor nulo: é a matriz na qual todos os elementos são iguais a zero. É indicada por zero, em negrito.

                                                    Exemplo

Veja três matrizes nulas:

2.2.4. Matriz transposta

 

Matriz transposta: é a matriz n x m obtida pela troca das linhas com as colunas, ou seja, a i-ésima linha de uma dada matriz A torna-se, na sua transposta, a i-ésima coluna. Indica-se a matriz transposta por A^T ou A’.

 

                                                   Exemplo

 

É dada a matriz

A transposta de M é 

Portanto, você tem uma matriz transposta se, e somente se, o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna de M^T é igual ao elemento da j-ésima linha, i-ésima coluna de M, ou seja,

Se M é uma matriz m × n, então M^T é uma matriz n × m. Veja o exemplo: M é uma matriz 2 × 3; M^T é uma matriz 3 × 2.

2.2.5. Matriz quadrada

Matriz quadrada é a matriz constituída por n linhas e n colunas, cada uma com n elementos. Então uma matriz quadrada tem n² elementos. 

Diagonal principal de uma matriz quadrada é a diagonal formada pelos elementos que têm os dois índices iguais como a₁₁, a₂₂,…, a_nn.

         Diagonal secundária de uma matriz quadrada é a diagonal formada pelos elementos a_1n, a_2(n-1),…, a_n1, em que os dois índices têm sempre soma igual a n+1.

 

         Elementos simétricos são todos os elementos do tipo a_rs e a_rs.

2.2.6. Matriz identidade

Matriz identidade é a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são todos iguais a zero. A matriz identidade pode ter dimensões 2 × 2, ou 3 × 3, ou 4 × 4, etc .. É indicada pela letra maiúscula I.

                                                 Exemplo

      Veja uma matriz identidade 3 x 3:

A matriz identidade “equivale” ao número 1. Então você não vai se surpreender, quando estudar operação com matrizes, que se pós-multiplicar uma dada matriz M por uma matriz identidade, obterá M como produto. Se pré-multiplicar a matriz identidade por uma matriz M, também obterá M como produto.

2.2.7. Matriz diagonal

 

Matriz diagonal é a matriz quadrada com elementos diferentes de zero apenas na diagonal principal. Todos os demais elementos são iguais

a zero.

                                                Exemplos

2.2.8. Matriz simétrica 

Matriz simétrica é uma matriz quadrada A, de ordem n x n cuja transposta é igual a ela mesma. Então, A é uma matriz simétrica se A^T = A.

                                                 Exemplos 

     Note bem:

·      Nem toda matriz quadrada é simétrica.

·      Se A é uma matriz simétrica, então sua transposta também será simétrica.

 

2.2.9. Matriz oposta

 

        Matriz oposta de A é a matriz que se obtem de A trocando todos os sinias. Indica-se a oposta de A por –A.

 

                                             Exemplo

É dada a matriz

A oposta de A é

Veja que A =-A. Então você não se surpreenderá, ao aprender operar matrizes, que

Note que o zero está em negrito porque é uma matriz.

 

2.2.10. Matriz antissimétrica

 Matriz antissimétrica é uma matriz quadrada A, de ordem n x n cuja transposta é igual a sua oposta.

       

                                               Exemplo

2.3.           Determinante

Determinante de uma matriz é um número calculado a partir de uma matriz quadrada. Mas vamos entender o que é determinante a partir de casos particulares e, depois, veremos a definição.

2.3.1.     Determinante de matriz 2 x 2

 

É dada uma matriz A, que se indica entre linhas em negrito. É uma matriz 2 x 2, isto é, uma matriz com duas linhas e duas colunas: 

O determinante dessa matriz, que se indica entre linhas, é:

            

  Só para lembrar, visualize o produto cruzado:

                                                Exemplo

  Dada a matriz 2 x 2 que se segue, calcule o determinante. 

O determinante é

2.3.2.     Determinante de matriz 3 x 3

 

É dada uma matriz 3 x 3, isto é, uma matriz com três linhas e três colunas.

 Para obter o determinante dessa matriz, veja o esquema:

 

Então, você calcula:

         A regra, para obter o determinante de uma matriz 3 x 3, é:

 

1. Multiplique a pelo determinante da matriz 2 × 2 que não está na linha nem na coluna em que está a.

2. Proceda da mesma forma, para b e para c, elementos da primeira linha.

3. Note que a alternância dos sinais: + para a, - para b,+ para c.

 

                                                  Exemplo

 

   É dada a matriz 3 x 3: 

    O determinante é:

2.2.3.     Determinante de matriz 4 x 4

           É dada uma matriz M 4 x 4:

         A regra, para obter o determinante de uma matriz 3 x 3, é:

 

1. Multiplique o elemento a, com sinal positivo, ao determinante da matriz que não contem a linha em que está a nem a coluna em que está a;

2. Multiplique o elemento b, com sinal negativo, ao determinante da matriz que não contem a linha em que está b nem a coluna em que está b;

3. Multiplique o elemento c, com sinal positivo, ao determinante da matriz que não contem a linha em que está c nem a coluna em que está c;

4. Multiplique o elemento d, com sinal negativo, ao determinante da matriz que não contem a linha em que está d nem a coluna em que está d.

Uma matriz 4 x 4 tem determinante: 

Difícil? Use uma calculadora de matrizes (matrix calculator). Mas saiba que esta é a maneira mais fácil de calcular o determinante de uma matriz. É a expansão de Laplace.

 

2.2.4. Definição formal de determinante

Determinante é o somatório dos n! produtos obtidos da diagonal principal, deixando fixos os primeiros índices e considerando todas as permutações possíveis dos segundos índices, precedidos de sinais positivos ou negativos conforme seja par ou ímpar o número de permutações. Isto equivale a multiplicar cada produto por (-1)^p onde p é a classe de permutações dos segundos índices. Logo:

                                             Exemplo

 

                                              Exemplo

 

  É dada a matriz 3 x 3:

                       Aplicando a definição de determinante:

Teorema: Cada termo do desenvolvimento de um determinante contém um e um só elemento de cada fila.

 

Por definição:

 

Os primeiros índices são fixos, obtidos da diagonal principal. Portanto, em cada termo do desenvolvimento do determinante existe um e somente um elemento de cada linha. Os segundos índices são permutações, sem repetição, de 1, 2, 3,…, n. Logo, cada termo do desenvolvimento do determinante tem nos segundos índices um número de 1 a n, sem repetição. Consequentemente, em cada termo do desenvolvimento do determinante aparece um e somente um elemento de cada linha.

 

                                            Exemplo

 

 É dada a matriz 3 x 3:

Você viu que

Confira: cada termo do desenvolvimento do determinante contem somente um elemento de cada linha.