O experimento do funil de Deming

Quando se pensa em Controle da Qualidade, surge a questão de o que fazer quando ocorrem itens não conformes. Uma reação comum é agir de imediato para "corrigir" o problema. No entanto, esse tipo de ação imediatista pode aumentar a variabilidade do processo. 

Quando muitos itens não conformes são produzidos, o correto é ajustar o sistema como um todo – e não apenas “mexer” em pontos específicos. Utilizar um feedback eletrônico para manter uma característica de qualidade dentro das especificações pode resultar em ajustes excessivos, levando a perdas nos estágios subsequentes do processo.

Deming apresenta a experiência, mas não explica a base estatística de forma detalhada. Uma referência teórica é fornecida de maneira ampla e complexa em outro trabalho do mesmo autor². Este texto visa explicar, com base na Estatística, as "Experiências Monte Carlo com um funil" de Deming, demonstrando, na prática, por que não se deve ajustar um processo devido a uma falha isolada.

⭐ A EXPERIÊNCIA

Os materiais necessários para a experiência são: um funil, uma bola de gude que passe pelo funil, uma mesa e um suporte para o funil. O procedimento é simples: primeiro, fixa-se o funil no suporte sobre a mesa. Em seguida, marca-se um ponto na mesa como alvo. A bola de gude é então solta através do funil, visando o alvo. Registra-se o ponto em que a bola efetivamente parou. Esse procedimento é repetido n vezes (Deming sugere n = 50). Veja a Figura 1.

Figura 1

Queda da bola de gude através do funil

Antes de iniciar o experimento, é preciso decidir que atitude tomar no k-ésimo lançamento (k = 1, 2, ..., n) caso a bola caia a uma distância dₖ do alvo. As possíveis ações, chamadas aqui de regras, são:

·  Regra 1: Manter o funil apontado para o alvo inicial em todos os lançamentos.

·  Regra 2: Toda vez que a bola de gude cair fora do alvo, ajustar o funil para apontar para o ponto onde a bola parou.

·  Regra 3: Toda vez que a bola cair fora do alvo, ajustar o funil para apontar a uma distância dᵢ do ponto de impacto, na mesma direção, mas em sentido oposto, tentando “compensar” o erro.

⭐A Lógica das Regras

·  Regra 1: Essa é a melhor escolha, pois resulta na menor variância. Mesmo que o processo esteja sob controle estatístico, sempre haverá alguma variabilidade. Isso deve ser compreendido e aceito.

·  Regra 2: Essa regra é ineficiente. Ajustar o funil a cada lançamento resulta em correções excessivas. Um exemplo prático seria um fabricante de tintas que tentasse acertar a cor do próximo lote baseado na cor do lote anterior. Isso levaria ao aumento da variabilidade nas cores ao longo do tempo.

·  Regra 3: Esta é a pior escolha. Como o alvo é fixo, tentar “compensar” o erro apenas amplifica a variabilidade. Um exemplo seria um operador de ensacamento que tentasse ajustar o peso da próxima saca com base no erro da anterior (se a última saca pesou 61 kg em vez de 60 kg, ele ajustaria para 59 kg na próxima). Isso faz com que o sistema “exploda” em termos de variância.

⭐A COMPROVAÇÃO ESTATÍSTICA

 

Considera-se o alvo como a origem do sistema cartesiano, isto é, o ponto de coordenadas (0,0). Na k-ésima queda, a bola para no ponto Pₖ, a uma distância dₖ do alvo. Veja a Figura 2.

Figura 2

Bola no ponto P, distância d_k do alvo

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

 

          

1.   Variabilidade com a Regra 1

No k-ésimo lançamento, a bola para em um ponto de abscissa:

                                                              X_k = x₀+e_k ​

onde x_₀ = 0 (origem) e eₖ são erros aleatórios independentes e identicamente distribuídos com média zero e variância σ². Portanto:

·  Média das abscissas: E (X_k) = 0

·  Variância das abscissas: Var (X_k) = σ²

Analogamente, para as ordenadas:

·  Média das ordenadas: E (Y_k) = 0

·  Variância das ordenadas: Var (Y_k) = σ²  

Então, para a distância dₖ do alvo:       

·  Média das distâncias: E (X_k) + E (Y_k) = 0

·  Variância das ordenadas: Var(x_k) + Var(y_k) = 2σ²  

🔚 Portanto, usando a Regra 1, a distância dos n pontos ao alvo terá variância 2σ².

      2. Variabilidade com a Regra 2

Na Regra 2, toda vez que a bola de gude cai fora do alvo, o funil é ajustado para apontar para o ponto onde a bola caiu. Isso significa que o erro do lançamento anterior é carregado para o próximo lançamento. O modelo matemático fica assim:

X_k=X_k−1+e_k

onde:

·  X_k ​ é a posição horizontal na k-ésima queda.

·  X_{k −1}​ é a posição horizontal na queda anterior.

·  e_k ​ é o erro aleatório na k-ésima queda, com média zero e variância σ².

Expandindo a relação, temos:

X_k=x₀+e₁+e₂+…+e_k

No início da experiência, o funil estava apontado para a origem do sistema de eixos cartesianos. Portanto, x₀=0. Podemos simplificar para:

Segue-se daí que a média de X_k = 0 e, analogamente, a média de Y_k = 0. As distâncias dos n pontos ao alvo têm média zero.

A variância da soma de variáveis aleatórias independentes é dada pela soma das variâncias:

Portanto, a variância da posição horizontal no k-ésimo lançamento é:

Da mesma forma, variância da posição vertical no k-ésimo lançamento é:

Como a variância é simétrica nos dois eixos (X e Y), a variância total da distância ao alvo é dada pela soma das variâncias em X e Y:

                                Var(d_k)=Var (X_k) + Var (Y_k)=kσ²+kσ²=2kσ²   

🔚 As distâncias dos pontos ao alvo terão média zero e variância 2kσ², ou seja, a variância aumenta linearmente, proporcionalmente ao número de lançamentos.

3. Variabilidade com a Regra 3

Na Regra 3, toda vez que a bola de gude cai fora do alvo, o funil é ajustado para uma distância q do ponto em que a bola caiu, na mesma direção, mas em sentido oposto. A ideia é "compensar" o erro anterior. Matematicamente, isso é expresso como:

X_k=qX_k−1+e_k​

onde:

·  X_k ​ é a posição na k-ésima queda.

·  X_k−1 é a posição na queda anterior.

·  q um fator de ajuste que representa a tentativa de compensar o erro anterior.

·  e_k é o erro aleatório na k-ésima queda, com média zero e variância σ².

Temos, com desenvolvimento recursivo:

X_k​ = q X_k−1​ + e_k

X_k−1​ = q X_k−2​ + e_k−1​

Substituindo a expressão de

X_k​ = q² X_k−2​ + q e_k−1 + e_k

Continuando

X_k−2​ = q X_k−3​ + e_k−2

Substituindo a expressão de X_k−2 em X_k​:${\mathrm{<i><br></i>}}_{}$

                                             X_k​ = q² (q X_k−3​ + e_k−2)​ + q e_k−1 + e_k

                                              X_k​ = q³ X_k−3​ +q² e_k−2+ q e_k−1 + e_k

 

Podemos continuar o procedimento, mas também podemos generalizar:

                                  X_k​ = e_k + q e_k−1   + q² e_k−2 + q³ X_k−3​ + ... + q^k X₀

A variância de X_k é dada por

 

A sequência a que chegamos é uma progressão geométrica com primeiro termo 1 e razão ${\mathrm{<span\; style="font-family:\; "Georgia",serif;\; mso-fareast-font-family:\; "Times\; New\; Roman";\; mso-fareast-theme-font:\; minor-fareast;"><o:p></o:p></span>}}^{}$q². Então:

🔚 Interpretação da Regra 3

A média de $X_{\mathrm{_k}}$_​ é zero, independentemente do valor de $\mathrm{<i>q</i>}$. Isso ocorre porque os erros são centrados em zero, o que faz com que as oscilações para cima e para baixo se cancelem ao longo do tempo. Isso confirma que o processo não tem viés sistemático. 

Quando ∣q∣ >1, a variância aumenta exponencialmente, pois cada ajuste amplia o erro anterior. Em termos práticos, é como tentar corrigir um erro sempre na direção oposta – o que acaba gerando uma oscilação crescente e descontrolada. Essa amplificação exponencial é o que Deming chama de o perigo dos ajustes excessivos. Ao tentar "corrigir" o erro anterior, você acaba ampliando a variabilidade do sistema.

Esse comportamento é um exemplo clássico do efeito da super compensação, onde o excesso de ajustes cria instabilidade em sistemas que, de outra forma, teriam variação natural controlada.

⭐ A Conclusão

Um processo sob controle estatístico pode, ainda assim, produzir itens não conformes. A solução não é ajustar o processo a cada não conformidade, mas sim reduzir a variabilidade do sistema como um todo. Ajustes excessivos não diminuem a variabilidade; na verdade, aumentam-na. Se a variabilidade for alta, é necessário revisar e corrigir o sistema como um todo, em vez de apenas manter o controle estatístico.

⭐Referências

 

DEMING, W. E. Some theory of sampling. New York, Dover, 1996.

DEMING, W. E. Qualidade: a revolução da administração. São Paulo:                 Saraiva. 1960.