Equações lineares: o que você precisa saber

     

1.     Introdução

A álgebra linear é uma área fundamental da matemática. Ela estuda sistemas de equações lineares, matrizes, determinantes, transformações lineares e espaços vetoriais. Seu papel é essencial em campos diversos como engenharia, física, computação gráfica, ciências sociais — e, especialmente, em estatística.

Na estatística, os conhecimentos de álgebra linear são amplamente utilizados em:

       🔺 Regressão linear
       🔺 Análise de variância (ANOVA)
       🔺 Análise multivariada
       🔺 Análise de componentes principais (PCA)

Modelos matemáticos não lineares, aliás, muitas vezes são aproximados por modelos lineares — uma técnica viável graças à solidez teórica da álgebra linear.

2.  O que é uma Equação Linear?

Uma equação linear envolve uma ou mais incógnitas com expoente 1 e não apresenta produtos ou funções dessas incógnitas. Por exemplo:

                      y = 1 + 4x 

Essa equação descreve uma reta no plano. Basta atribuir valores a x para encontrar os correspondentes valores de y:

        🔸 Se x = 0, então y = 1
        🔸 Se x = 2, então y = 9

 A forma geral de uma equação linear com n incógnitas é:

           a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b

Exemplos de equações lineares:
          🔸 3x + 2y = 7
          🔸 x₁ - x₂ + 4x₃ = 0

Exemplos de equações não lineares:
         🔸 x² + y = 1
         🔸 √x + y = 2
         🔸 xy = 5

2.2.  Sistemas de Equações Lineares

 

Um sistema de equações lineares consiste em um conjunto de equações como essas, com várias incógnitas. Vamos começar com o caso mais simples:

2.2.1.     Sistema com duas equações e duas incógnitas

Considere o sistema:
            x + y = 5
            x - y = -1

Somando as equações, temos:
           2x = 4 → x = 2
Substituindo em x + y = 5:
            2 + y = 5 → y = 3

✅A solução é (x, y) = (2, 3), o ponto onde as retas se cruzam.

Figura 2

Solução do sistema de equações:

ponto em que duas retas se cruzam 

2.2.1.2. Três tipos de soluções possíveis

 Sistemas lineares podem apresentar três tipos de solução:

            1. Única solução (sistema consistente determinado)
            2. Infinitas soluções (sistema consistente indeterminado)
            3. Nenhuma solução (sistema inconsistente)

                                                           Exemplos

1. Única solução
    x + y = 3
    x - y = -1
    ✅ (x, y) = (1, 2)

   (2) Infinitas soluções
    x + y = 3
    2x + 2y = 6

✅ (mesma equação multiplicada)

Figura 4

Sistema de equações: infinitas soluções, é a mesma reta

   

   (3) Sistema sem solução
    x + y = 3
    x + y = 1
    ✅ (retas paralelas)

                                                                               Figura 5

                                          Sistema de equações sem solução: retas  paralelas

 2.2.3. Sistemas com Três Equações e Três Incógnitas

Exemplos

Primeiro exemplo
    x + y + z = 2
    y + z = 1
    z = 2

De baixo para cima:
- z = 2
- y + 2 = 1 → y = -1
- x -1 + 2 = 2 → x = 1

                       ✅ Solução: (x, y, z) = (1, -1, 2)

Segundo exemplo
    x + y + z = 1
    2x - y + 3z = 4
    x - 2y + 2z = 3

Após substituições:
                ✅ x = -1, y = 3, z = -1

1.3.  Conclusão

A solução de sistemas lineares é uma habilidade essencial para quem trabalha com estatística. Da regressão linear à análise de componentes principais, muitas ferramentas de análise de dados são sustentadas por conceitos básicos de álgebra linear.