MATRIZES: OPERAÇÕES

 

Tratamos aqui o essencial sobre matrizes para a compreensão de análise de regressão e análise de variância. A discussão não é rigorosa, mas no final deste trabalho são dadas referências, para quem quiser ir além de parcos rudimentos de álgebra linear. 

 

4.1. Soma de matrizes

 

Para somar duas matrizes, some os elementos que estão em posições correspondentes.

 

                               Exemplo

 

São dadas duas matrizes, A e B. Veja como se faz a soma delas.

Importante: só podem ser somadas matrizes de mesmo tamanho. Não se pode somar uma matriz 3 x2 com uma matriz 2 x 3.

 

Vamos formalizar a definição de soma de matrizes. Sendo A=[a_ij] e B=[b_ij] duas matrizes de mesma ordem, a soma dessas matrizes é

 

C é uma matriz da mesma ordem de A e B e seus elementos são obtidos pela soma a_ij +b_ij.

 

4.2. Subtração de matrizes

 

Para subtrair matrizes, proceda à subtração dos elementos que ocupam posições correspondentes.

 

                                 Exemplo

 

São dadas as mesmas duas matrizes de mesma ordem, A e B. Veja como se subtrai B de A.

4.3. Multiplicação de matrizes

 

4.3.1. Multiplicação de matriz por um escalar

 

É fácil multiplicar uma matriz por um número real k. Por exemplo, para multiplicar a matriz M 

por 2, isto é, para obter 2 x M multiplique cada elemento da matriz M por 2:

Então:

Generalizando: para multiplicar uma matriz M de ordem m x n por um número real k, é preciso multiplicar k por cada um dos elementos de M.

4.3.2. Multiplicação de matrizes

 

Para multiplicar uma matriz A por uma matriz B, é preciso fazer o produto de linhas por colunas, ponto a ponto. Importante é que o número de colunas em A seja igual ao número de linhas em B. Se A é uma matriz m x n e B é uma matriz n x p, a matriz C resultante será m x p.

                                Exemplo

 

Sejam as matrizes A e B. A é matriz 2 x 3 e  B é 3 x 2.

                              Exemplo

 

Sejam as matrizes A e B. A é uma matriz 2 x 3 e  B é 3 x 2. 

A matriz C, resultante da multiplicação de uma matriz A, 2 x 3, por uma matriz B, 3 x 2, é uma matriz  2 x 2.      

Para obter a matriz C:

1. Multiplique os elementos da primeira linha de A com os elementos correspondentes da primeira coluna de B:

2. Some os produtos. O resultado é o primeiro elemento da primeira linha e primeira coluna de C.

                       
               3. Multiplique dos elementos da primeira         linha de A com os correspondentes da                   segunda coluna de B e some:

                   
 4. O resultado é o primeiro elemento da primeira linha e segunda coluna de C.1.

5. Trabalhe agora com a segunda linha da matriz A e a primeira coluna da matriz B. O resultado é o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz C.

 

6. Finalmente, faça os cálculos com a segunda linha da matriz A e segunda coluna da matriz B. O resultado é o elemento da segunda linha e segunda coluna da matriz C.

 

7. Agora você tem o produto das matrizes A x B, ou seja, a matriz C.

 Vamos definir mais formalmente a multiplicação de matrizes. Considere uma matriz A de ordem m x n e uma matriz B de ordem n x p. O produto  (nessa ordem) é uma nova matriz C de ordem m x p com elementos dados por:

Veja bem: você obtém o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz C, multiplicando todos os elementos da i-ésima  linha da matriz A por todos os elementos correspondentes da j-ésima  coluna da matriz B e então somando esses produtos.

 

                        Exemplo

 

Dadas as matrizes A e B, calcule o produto delas.

Lembre-se de que, para que uma matriz A possa ser multiplicada por uma matriz B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. Observe: o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, isto é, 2. Então C, que é o produto de A por B, é uma matriz 2 x 2.

                           Exemplo

 

Dadas as matrizes M e N, o produto  não é definido.

 

 

Observe: o número de colunas de M é 2, diferente do número de linhas de N. Então o produto dessas duas matrizes não é definido.

 

4.3.3. Propriedades da multiplicação de matrizes

 

1ª propriedade

 

Uma matriz A pode ser multiplicada por uma matriz B somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. O resultado da multiplicação terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.

 

2ª propriedade

 

A multiplicação de matrizes não é comutativa. Mesmo que seja possível multiplicar A por B e B por A, os produtos podem ser diferentes e de ordens diferentes. 

1. Se A for de ordem n x m e B for de ordem m x n,   será de ordem n x n e  será de ordem m x m.

 

Exemplo

 

Vimos que:

Vamos obter

Verifique:

 

2. Ainda que A e B sejam matrizes quadradas, as matrizes resultantes da multiplicação de A e de B não são necessariamente iguais.

 

Exemplo

 

Dadas as matrizes A e B, verifique que:

 

         

3ª propriedade

 

Um vetor linha pós-multiplicado por um vetor coluna é um escalar.

 

Exemplo

 

São dados os vetores

O produto deles é um escalar:

               

4ª propriedade

 

 Um vetor coluna pós-multiplicado por um vetor linha é uma matriz.

 

Exemplo

 

São dados os vetores

 

O produto deles é uma matriz de ordem 3 x 3:

IMPORTANTE

            Inversão de matrizes e o uso de matrizes para            resolver sistemas lineares simultâneos serão              tratadas em novas s, porque o texto já está               muito longo. Continue nos seguindo, até o final            da semana tudo estará postado.