MATRIZES (4): Soma, Subtração e Multiplicação

                                          

   A discussão aqui apresentada sobre operações com matrizes não é rigorosa, mas esperamos que suficiente para usuários. 

 

1. Soma de matrizes

 

    Para somar duas matrizes, A e B, some os elementos que estão em posições correspondentes.

 

                                              Exemplo

 

    São dadas duas matrizes, A e B. Veja como se faz a soma.

                                       

Formalizando: " A soma de duas matrizes de igual ordem A=[a_ij]  e B=[b_ij] é uma matriz C da mesma ordem de A e B e seus elementos são obtidos pela soma a_ij +b_ij.""   

    Importante: só podem ser somadas matrizes de mesmo                       tamanho. Não se pode somar uma matriz 3 x 2 com uma                          matriz 2 x 3.

2. Subtração de matrizes

 

Para subtrair matrizes, isto é, subtrair B de A, proceda à subtração dos elementos que ocupam posições correspondentes.

 

                                               Exemplo

 

São dadas as mesmas duas matrizes de mesma ordem, A e B. Veja como se subtrai B de A.

3. Multiplicação de matrizes

 

4.3.1. Multiplicação de matriz por um escalar

 

É fácil multiplicar uma matriz por um número real k. Por exemplo, para multiplicar a matriz M 

por 2, isto é, para obter 2 x M multiplique cada elemento da matriz M por 2:

Então:

Generalizando: para multiplicar uma matriz M de ordem m x n por um número real k, é preciso multiplicar k por cada um dos elementos de M.

4.3.2. Multiplicação de matrizes

 

Para multiplicar uma matriz A por uma matriz B, é preciso fazer o produto de linhas por colunas, ponto a ponto. Importante é que o número de colunas em A seja igual ao número de linhas em B. Se A é uma matriz m x n e B é uma matriz n x p, a matriz C resultante será m x p.

                                              Exemplo

 

       Sejam as matrizes A e B. A é matriz 2 x 3 e  B é 3 x 2.

                                             Exemplo

 

        Sejam as matrizes A e B. A é uma matriz 2 x 3 e  B é 3 x 2. 

A matriz C, resultante da multiplicação de uma matriz A, 2 x 3, por uma matriz B, 3 x 2, é uma matriz  2 x 2.      

Para obter a matriz C:

1. Multiplique os elementos da primeira linha de A com os elementos correspondentes da primeira coluna de B:

2. Some os produtos. O resultado é o primeiro elemento da primeira linha e primeira coluna de C.

                       
               3. Multiplique dos elementos da primeira linha de A com os                                  correspondentes da segunda coluna de B e some:

                                   
 4. O resultado é o primeiro elemento da primeira linha e segunda coluna de C.1.

5. Trabalhe agora com a segunda linha da matriz A e a primeira coluna da matriz B. O resultado é o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz C.

 

6. Finalmente, faça os cálculos com a segunda linha da matriz A e segunda coluna da matriz B. O resultado é o elemento da segunda linha e segunda coluna da matriz C.

 

7. Agora você tem o produto das matrizes A x B, ou seja, a matriz C.

 Vamos definir mais formalmente a multiplicação de matrizes. Considere uma matriz A de ordem m x n e uma matriz B de ordem n x p. O produto  (nessa ordem) é uma nova matriz C de ordem m x p com elementos dados por:

Veja bem: você obtém o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz C, multiplicando todos os elementos da i-ésima  linha da matriz A por todos os elementos correspondentes da j-ésima  coluna da matriz B e então somando esses produtos.

 

                                           Exemplo

 

Dadas as matrizes A e B, calcule o produto delas.

Lembre-se de que, para que uma matriz A possa ser multiplicada por uma matriz B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. Observe: o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, isto é, 2. Então C, que é o produto de A por B, é uma matriz 2 x 2.

                                           Exemplo

 

Dadas as matrizes M e N, o produto  não é definido.

 

 Observe: o número de colunas de M é 2, diferente do número de linhas de N. Então o produto dessas duas matrizes não é definido.

 

4.3.3. Propriedades da multiplicação de matrizes

 

1ª propriedade

 

Uma matriz A pode ser multiplicada por uma matriz B somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. O resultado da multiplicação terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.

 

2ª propriedade

 

A multiplicação de matrizes não é comutativa. Mesmo que seja possível multiplicar A por B e B por A, os produtos podem ser diferentes e de ordens diferentes. 

1. Se A for de ordem n x m e B for de ordem m x n,   será de ordem n x n e  será de ordem m x m.

 

                                          Exemplo

 

Vimos que:

Vamos obter

Verifique:

 

2. Ainda que A e B sejam matrizes quadradas, as matrizes resultantes da multiplicação de A e de B não são necessariamente iguais.

 

                                           Exemplo

 

Dadas as matrizes A e B, verifique que:

 

         

3ª propriedade

 

Um vetor linha pós-multiplicado por um vetor coluna é um escalar.

 

                                          Exemplo

 

São dados os vetores

O produto deles é um escalar:

               

4ª propriedade

 

 Um vetor coluna pós-multiplicado por um vetor linha é uma matriz.

 

                                           Exemplo

 

São dados os vetores

 

O produto deles é uma matriz de ordem 3 x 3: