Sonia Vieira: I MATRIZES (5): Inversão

Thursday, February 18, 2021

I MATRIZES (5): Inversão

Antes de ver como se faz a inversão de uma matriz, é preciso definir matriz inversa e matriz singular.

1. Matriz inversa

Matriz inversa de uma matriz quadrada B, que se indica por B^-1, é inversa de B somente se

em que I é uma matriz identidade.

Em palavras, a matriz B^-1 é inversa de B somente se o produto de B por B^-1 for igual ao produto de B^-1 por B e ambos resultarem em uma matriz identidade.

2. Matriz singular

Matriz singular é a matriz que não tem inversa.

3. Procedimento para a inversão de uma matriz

É trabalhoso achar a inversa de uma matriz, mas felizmente existem computadores! De qualquer modo, vamos inverter uma matriz 2 x 2. É dada a matriz

Veja o procedimento para calcular a matriz inversa de M, isto é, M^-1:

1. Calcule o determinante de M:

2. Na matriz M, troque as posições de a e d.

3. Troque os sinais de b e c, mas os mantenha nas mesmas posições.

4. Divida a matriz que você obteve pelo determinante de M, para achar a inversa de M, ou seja, M^-1.

Exemplo

Calcule a matriz inversa de

É preciso calcular:

1. O determinante de M:

2. Troque a₁₁ de lugar com a₂₂ e mude os sinais de a₁₂ e a₂₁:

3. Divida essa matriz pelo determinante de M, para obter:

Mas M^-1 é a inversa da matriz M somente se

Então, vamos calcular:

Vamos agora verificar se

Temos então que

Importante:

Você só pode inverter matrizes quadradas não singulares, isto é, matrizes quadradas com determinante diferente de zero.

4. Uso de matriz inversa

Matrizes e determinantes são ferramentas extremamente úteis em várias áreas do conhecimento. Um problema central da álgebra linear é a solução da equação matricial

AX = B

para X. Embora em teoria isso possa ser resolvido por outras técnicas, é comum achar X fazendo uso de uma matriz inversa:

X= A^-1B

Tecnicamente, não se faz uma divisão de matrizes. A operação equivalente da “divisão” de uma matriz B por uma matriz A é a multiplicação de B pela inversa de A. Você aceita isso facilmente quando se trata de escalares. Por exemplo, dividir 10 por dois equivale a multiplicar dez por meio:

10 ÷ 2 = 10 x ½ = 5

No entanto, você não pode multiplicar matrizes pensando que pode aplicar a elas as mesmas propriedades que usa com escalares.

De qualquer modo, se você quiser “dividir” a matriz A pela matriz B, a matriz B precisa ser não singular, isto é, tem de ser possível obter a inversa de B. Portanto, B deve ser uma matriz quadrada com determinante diferente de zero. E não se esqueça de que A x B^-1 não é igual a B^-1x A.