INVERSÃO DE MATRIZES

 

Antes de ver como se faz a inversão de uma matriz, é preciso definir matriz inversa e matriz singular.

4.4.1. Matriz inversa

 

    Matriz inversa de B, que se indica por B^-1, é inversa de B somente se

Em palavras, a matriz B^-1 é inversa de B somente se o produto de B por B^-1 for igual ao produto de B^-1 por B e ambos resultarem em uma matriz identidade.

 

4.4.2. Matriz singular

 

Matriz singular é a matriz que não tem inversa.

 

4.4.3. Procedimento para a inversão de uma matriz

 

É trabalhoso achar a inversa de uma matriz, mas felizmente existem computadores! De qualquer modo, vamos inverter uma matriz 2 x 2.  É dada a matriz

 

Veja o procedimento para achar a matriz inversa de M, isto é, M^-1: 

1.   Calcule o determinante de M:

  

2.   Na matriz M, troque as posições de a e d.

 

 

3.  Troque os sinais de b e c, mas os mantenha nas mesmas posições.

4.  Divida a matriz que você obteve pelo determinante de M, para achar a inversa de M, ou seja, M^-1.

             

Exemplo

 

Ache a matriz inversa de

É preciso calcular:

 

                               1.        O determinante de M:

 

                                2.        Troque a₁₁ de lugar com a₂₂ e mude os sinais de a₁₂ e a₂₁:

                                3.        Divida essa matriz pelo determinante de M, para obter:

 

 Mas M^-1 é a inversa da matriz M somente se

Então, vamos calcular:

 

Agora, vamos calcular

 

Temos então que

 

 

Importante:

Você só pode inverter matrizes quadradas não singulares, isto é, matrizes quadradas com determinante diferente de zero.

 

4.4.4. Uso de matriz inversa

 

Matrizes e determinantes são ferramentas extremamente úteis em várias áreas do conhecimento. Um problema central da álgebra linear é a solução da equação matricial

                                         AX = B

para X. Embora em teoria isso possa ser resolvido por outras técnicas, é comum achar X fazendo uso de uma matriz inversa:

X= A^-1 B

Tecnicamente, não se faz uma divisão de matrizes. A operação equivalente da “divisão” de uma matriz B por uma matriz A é a multiplicação de B pela inversa de A. Você aceita isso facilmente quando se trata de escalares. Por exemplo, dividir 10 por dois equivale a multiplicar dez por meio:

                           10 ÷ 2 = 10 x ½ = 5

No entanto, você não pode multiplicar matrizes pensando que pode aplicar a elas as mesmas propriedades que usa com escalares.De qualquer modo, se você quiser “dividir” a matriz A pela matriz B, a matriz B precisa ser não singular, isto é, tem de ser possível obter a inversa de B. Portanto, B deve ser uma matriz quadrada com determinante diferente de zero. E não se esqueça de que A x B^-1 não é igual a B^-1 x A.

 

DICA

                     Para inverter matrizes, aprendida a lógica, use o programa de computador 

                     que você conhece. No entanto, para quem começa, há várias ajudas online. 

                      Busque por 

                                           INVERSE MATRIX CALCULATOR

                      e achará várias calculadoras. Veja estes.

                               https://www.omnicalculator.com/math/matrix-inverse

                     Inverse of a Matrix - Math is Fun

           https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-inverse.html