Distribuição trinomial : uma extensão da binomial

                         

              🔍   Definição de distribuição trinomial 

Considere $n$ ensaios idênticos e independentes, em que cada ensaio pode resultar em um de três eventos: sucesso, fracasso ou "nenhum deles". Seja $X$ o número de vezes que um ensaio resulta em sucesso, $Y$ o número de vezes que resulta em fracasso e $Z$ o número de vezes que não ocorre nem sucesso nem fracasso.

A probabilidade de ocorrerem $x$ sucessos, $y$ fracassos e $z$ ocorrências do terceiro tipo é dada por:

onde               

              x = 0, 1, …, n

              y = 0, 1, …, n

             x + y ≤ n

         🔍 Quando você tem uma distribuição trinomial?

Você tem uma distribuição trinomial quando tem uma sequência de $n$ eventos (ou $n$ ensaios, ou $n$ tentativas) idênticos e independentes. Em cada evento, são três os resultados possíveis:

·        “sucesso”,

·        “fracasso” e

·        “nenhum deles”.

$$$$

Em todos os eventos, a probabilidade de sucesso (ocorrer o evento de interesse) é $p$, a probabilidade de fracasso é $q$, e a probabilidade de não ocorrer nenhum deles é $\mathrm{1\; -\; (p\; +\; q).<span\; face=""Segoe\; UI\; Emoji",\; sans-serif"\; style="text-indent:\; 0cm;"><br></span>}$

EXEMPLO 1

🔴 Uma urna contém cinco bolas vermelhas, quatro bolas verdes e três bolas azuis, que diferem apenas na cor. Essas bolas estão perfeitamente misturadas. Sem olhar, você retira uma bola, anota a cor e a recoloca na urna, misturando bem. Esse procedimento é repetido 20 vezes.

Qual é a probabilidade de, nessas 20 retiradas, saírem exatamente oito bolas vermelhas e cinco bolas verdes?

                  

Resolução do Exemplo 1

No experimento das bolas na urna, definimos:

• X para o primeiro tipo de resultado (bolas vermelhas),
• Y para o segundo tipo de resultado (bolas verdes),
• Z para o terceiro tipo de resultado (bolas azuis).

Dado que:

n = 20 (tentativas)

x = 8 (bolas vermelhas)

y = 5 (bolas verdes)}

z = 7 (20 - 8 - 5) bolas azuis

 Para calcular a probabilidade pedida, aplicamos a fórmula da distribuição trinomial: 

📢  Resposta: A probabilidade de, nas 20 retiradas, saírem oito bolas vermelhas e cinco verdes é 2,276%.

EXEMPLO 2

🔴 Foram sorteados 20 alunos de uma escola para responder um questionário sobre violência no futebol (2). No sábado anterior, havia tido um jogo importante. A probabilidade de o aluno ter ido ao jogo (evento A) é 0,20, a probabilidade de o aluno ter assistido ao jogo pela TV (evento B) é 0,50 e a probabilidade de o aluno ter ignorado o jogo (evento C) é 0,30. Qual é a probabilidade de, dos 20 alunos sorteados, 4 terem ido assistir ao jogo no campo e 10 alunos terem assistido ao jogo na TV?

No sábado anterior, houve um jogo importante.

As probabilidades são:

·  A probabilidade de o aluno ter ido ao jogo no estádio (A) é 0,20,

·  A probabilidade de o aluno ter assistido ao jogo pela TV (B) é 0,50,

·  A probabilidade de o aluno ter ignorado o jogo (C) é 0,30.

Qual é a probabilidade de, entre os 20 alunos sorteados, exatamente 4 terem ido ao estádio e 10 terem assistido ao jogo na TV?

n = 20

x = 4 (foram ao estádio)

y =10 (assistiram pela TV)

z = 20−4−10=6 (ignoraram o jogo)

Aplicando a fórmula da distribuição trinomial:

                                          P (X = 4, Y = 10, Z = 6) = 0,175%.

📢 Resposta: A probabilidade de, entre os 20 alunos sorteados, exatamente 4 terem ido ao estádio e 10 terem assistido ao jogo na TV ´0,175%

EXEMPLO 3

🔴 Dois enxadristas disputam uma série de 12 partidas. Com base em jogos anteriores, estima-se que:

·  A probabilidade de um deles (chamado de A) vencer é 0,40,

·  A probabilidade do outro jogador (B) vencer é 0,35,

·  A probabilidade de empate é 0,25.

Qual é a probabilidade de A vencer exatamente 7 jogos e B vencer exatamente 2 jogos?

n = 12 (jogos)

x =7 (vitórias de A)

y = 2 (vitórias de B)

z = 12−7−2=3 (empates)

Aplicando a fórmula da distribuição trinomial:

                            P (X = 7, Y = 2, Z = 3) = 0,0248

 

📢  Resposta: A probabilidade de A vencer exatamente 7 jogos e B vencer exatamente 2 jogos é 2,48%

 

EXEMPLO 4

🔴 Em uma pesquisa para a eleição presidencial, 40% dos eleitores disseram preferir o candidato A, 10% disseram preferir o candidato B e os demais afirmaram estar indecisos.

Se você seleciona 10 eleitores ao acaso, qual é a probabilidade de:

·  4 preferirem o candidato A,

·  1 preferir o candidato B,

·  Os demais continuarem indecisos?

n=10 (entrevistados)

x=4 (preferem A)

y=1 (preferem B

z=10−4−1=5 (indecisos)

z = 10 - 4 - 1 = 5

 

                           Aplicando a fórmula da distribuição trinomial:

 

                                          P (X = 4, Y = 1, Z = 5) = 10,08%

📢  Resposta: A probabilidade de, entre 10 eleitores, 4 preferirem A 1 preferir B é 10,08%.