Sonia Vieira: Distribuição trinomial

Imagine uma sequência de n eventos (ou n ensaios, ou n tentativas) idênticos e independentes. Em cada evento, são possíveis três resultados: “sucesso”, “fracasso” e “nenhum deles”.

Em todos os eventos, a probabilidade de sucesso (ocorrer o evento de interesse) é p, a probabilidade de fracasso é q e a probabilidade de não ocorrer nenhum deles é 1-(p+q).

EXEMPLO 1

Uma urna contém cinco bolas vermelhas, quatro bolas verdes e três bolas azuis, diferentes apenas em relação a cor. Essas bolas estão perfeitamente misturadas. Sem olhar, você retira uma bola, anota a cor e a recoloca na urna, misturando bem. Repete o procedimento por 20 vezes (1).

Qual é a probabilidade de, nessas 20 retiradas, saírem oito bolas vermelhas e cinco verdes? Esta é uma das muitas possibilidades.

Definição de distribuição trinomial: sejam n ensaios idênticos e independentes. Cada ensaio pode resultar em um de três eventos: sucesso, fracasso e nenhum deles. Seja X o número de vezes que um ensaio termina em sucesso, Y o número de vezes que um ensaio termina em fracasso e Z o número de vezes que um ensaio termina em nenhum deles. A probabilidade de ocorrerem x sucessos, y fracassos e nenhum deles em número z é dado por:

x = 0, 1, …, n

y = 0, 1, …, n

x + y ≤ n

RESOLVENDO O EXEMPLO 1

No exemplo das bolas na urna, vamos representar por X o primeiro tipo de resultado, por Y o segundo tipo de resultado e por Z o terceiro tipo de resultado. Nesse exemplo:

n= 20 tentativas

x = 8 bolas vermelhas

y = 5 bolas verdes

z = 20-8-5=7 bolas azuis

Para obter a probabilidade pedida, aplique a fórmula:

A probabilidade de, nas 20 retiradas, saírem oito bolas vermelhas e cinco verdes é 2,276%.

EXEMPLO 2

Foram sorteados 20 alunos de uma escola para responder um questionário sobre violência no futebol (2). No sábado anterior, havia tido um jogo importante. A probabilidade de o aluno ter ido ao jogo (evento A) é 0,20, a probabilidade de o aluno ter assistido ao jogo pela TV (evento B) é 0,50 e a probabilidade de o aluno ter ignorado o jogo (evento C) é 0,30. Qual é a probabilidade de, dos 20 alunos sorteados, 4 terem ido assistir ao jogo no campo e 10 alunos terem assistido ao jogo na TV?

n= 20 alunos

x = 8 terem ido ao campo de futebol

y = 5 terem assistido ao jogo na TV

z = 20-8-5=7 terem ignorado o jogo

Para obter a probabilidade pedida, aplique a fórmula:

A probabilidade de, dos 20 alunos, oito terem ido ao jogo, cinco terem assistido o jogo na TV e sete terem ignorado o assunto é 0,175%.

EXEMPLO 3

Dois enxadristas devem disputar 12 jogos (3). Com base em jogos anteriores, estima-se que a probabilidade de um deles (que chamaremos de A) vencer é 0,40 e a probabilidade do outro (que chamaremos de B) vencer é 0,35. Estima-se a probabilidade de empate em 0,25. Qual é a probabilidade de A vencer 7 jogos e B vencer 2 jogos?

n = 12 jogos

x = 7 A vencer

y = 2 B vencer

z = 3 empatar

=0,0248

EXEMPLO 4

Em uma pesquisa para eleição presidencial, 40% dos eleitores disseram preferir o candidato A, 10% disseram preferir o candidato B e os demais disseram estar indecisos (3). Você seleciona 10 eleitores ao acaso. Qual é a probabilidade de 4 prefiram o candidato A, 1 prefira o candidato B e os demais continuem indecisos?

n = 10 entrevistados