Sonia Vieira: Bits (binary digits) têm distribuição binomial

Quando se lança uma moeda uma única vez, sair cara ou coroa é obra do acaso. Saída de cara ou coroa no lançamento de uma moeda é , portanto, uma variável aleatória. Como só existem dois resultados possíveis, dizemos que a variável é binária. A probabilidade de ocorrer cara é p = ½ e a probabilidade de ocorrer coroa é q = ½.

Imagine que uma moeda foi lançada muitas e muitas vezes, digamos n vezes. Nessas jogadas todas ocorrerá um certo número de caras, que indicaremos por X. Essa nova variável também é aleatória. Afinal, o número de caras que podem ocorrer quando lançamos uma moeda n vezes também é obra do acaso.

Podemos calcular a probabilidade de, em n jogadas, X ser zero, 1, 2, ..., n. Temos então uma distribuição, porque todos os valores de X estão associados a probabilidades. Essa distribuição se chama binomial, porque cada lançamento da moeda só pode resultar em uma de duas possibilidades: ou sai cara, ou sai coroa.

Obrigatoriamente:

A probabilidade de ocorrer qualquer valor de X é igual ou maior que zero – não pode ser negativa.

A soma das probabilidades de ocorrer todos os valores possíveis de X é igual a 1.

Para estudar a distribuição da variável aleatória X, vamos estabelecer que em cada lançamento da moeda, se ocorrer coroa, X = 0 e se ocorrer cara, X = 1. Você compreende assim o que é um dígito binário o binary digit, que deu origem ao termo bit. (É "sim" ou "não", está aceso ou apagado)

Vamos voltar ao jogo de moedas e estabelecer, primeiramente, que o número de lançamentos será n = 1.

Os valores que podem ser assumidos pela variável aleatória X com as respectivas probabilidades estão na Tabela 1.

Tabela 1 – Distribuição binomial com n = 1 e p = ½

Vamos agora considerar que a moeda é lançada n = 2 vezes. Os valores que podem ser assumidos pela variável aleatória X com as respectivas probabilidades estão na Tabela 2.

Tabela 2 – Distribuição binomial com n = 2 e p = ½

Se a moeda for lançada n = 3 vezes, os valores que podem ser assumidos pela variável aleatória X com as respectivas probabilidades estão na Tabela 3.

Tabela 3 – Distribuição binomial com n = 3 e p = ½

Para estabelecer uma linha de raciocínio, observe as tabelas 1, 2 e 3. Veja que:

· Se n = 1, a variável aleatória assume valor zero ou 1.

· Se n = 2, a variável aleatória assume valor zero, 1 ou 2.

· Se n = 3, a variável aleatória assume valor zero, 1, 2 ou 3.

É razoável estender o raciocínio e admitir que, fixado um valor para n, a variável aleatória X pode assumir qualquer valor entre zero e n, inclusive.

Para cada valor que pode ser assumido pela variável aleatória X, as tabelas 1, 2 e 3 também apresentam a respectiva probabilidade. Por extensão, podemos considerar que, fixado o valor de n, é possível calcular a probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor inteiro entre zero e n.

Vamos aceitar, sem demonstração, que a probabilidade de X assumir um determinado valor x é dada pela fórmula:

Para aprender usar esta fórmula, vamos fazer n = 4. Quando uma moeda é lançada 4 vezes, podem ocorrer zero, 1, 2, 3 ou 4 caras. Usando a fórmula, vamos calcular a probabilidade associada a cada um desses valores. Então:

Vamos colocar estes resultados na Tabela 4.

Tabela 4 – Distribuição com n = 4 e p = ½

Características da distribuição binomial

· São n eventos idênticos (ou n ensaios, ou n tentativas)

· Cada evento só pode resultar em um de dois resultados, identificados como “sucesso” e “fracasso” – com valores 1 e zero, respectivamente

· A probabilidade de sucesso (ocorrer o evento de interesse) é p em todos os eventos.

· Os eventos são independentes: o resultado de um evento não tem efeito sobre o resultado de outro

· O número de sucessos em n eventos é a variável aleatória X.

Parâmetros da distribuição binomial

1) n, isto é, o número de eventos (por exemplo, se uma moeda for lançada dez vezes)

2) p, isto é, a probabilidade de sucesso em uma tentativa (por exemplo, sair cara quando se joga uma moeda).

Lembre-se de que:

n = número de tentativas

x = número de sucessos

p = probabilidade de sucesso

! indica fatorial, em uma análise combinatória

Análise combinatória

Se n é um número inteiro positivo maior do que zero, por definição, fatorial de n, que se indica por n! é dado por:

n! = n (n – 1) (n – 2)…1.

O fatorial de 5 é, portanto:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

O desenvolvimento de um fatorial pode ser interrompido antes de chegar ao número 1, desde que se coloque o símbolo ! que indica o fatorial, logo após o último número. Escreve-se:

5! = 5 × 4 × 3!

porque

3! = 3 × 2 × 1.

O fatorial de zero, que se indica por 0! é, por definição, igual a 1.