Quando se lança uma moeda uma única vez, o resultado — cara ou coroa — é determinado pelo acaso. O resultado desse lançamento é, portanto, uma variável aleatória. Como existem apenas dois resultados possíveis, dizemos que essa variável é binária. A probabilidade de ocorrer cara é p = 1/2 e a de ocorrer coroa é q = 1/2.
Agora, imagine que a moeda seja lançada muitas e
muitas vezes, digamos, n vezes. Nessas jogadas, ocorrerá um certo número
de caras, que indicaremos por X. Essa nova variável, o número de caras
em n lançamentos, também é aleatória, pois o resultado de cada jogada é
imprevisível e fruto do acaso.
Podemos calcular a probabilidade de que, em n
jogadas, X seja igual a 0, 1, 2, ..., n. Estamos, então, diante
de uma distribuição de probabilidades, pois cada possível valor de X
está associado a determinada probabilidade. Essa distribuição é chamada de binomial,
porque cada lançamento da moeda tem apenas dois resultados possíveis: cara ou
coroa.
📢 Propriedades
essenciais
🔺A probabilidade de X assumir qualquer valor
possível é sempre maior ou igual a zero — não pode ser negativa.
🔺A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de X é igual a 1.
Para estudar a distribuição da variável aleatória X, vamos definir que em cada lançamento:
🔸 Se sair coroa, atribuímos X = 0.
🔸 Se sair cara, atribuímos X = 1.
Fica então fácil entender o conceito de dígito
binário ou binary digit, que deu origem ao termo bit — indicando
duas possibilidades: sim ou não, ligado ou desligado.
Vamos voltar ao jogo de moedas e considerar,
primeiramente, n = 1 lançamento. Os valores que a variável X pode
assumir e suas respectivas probabilidades estão na Tabela 1.
Tabela 1
Distribuição binomial com n = 1 e p = ½
Tabela 2
Distribuição binomial com n = 2 e p =
½
Se a moeda for lançada n = 3 vezes, temos a Tabela
3.
Tabela 3
Distribuição
binomial com n = 3 e p = ½
Observe as tabelas 1, 2 e 3:
🔸 Se n = 1, X pode ser 0 ou 1.
🔸 Se n = 2, X pode ser 0, 1 ou 2.
🔸 Se n = 3, X pode ser 0, 1, 2 ou 3.
É natural concluir que, para um valor fixado de n,
a variável aleatória X pode assumir qualquer valor inteiro entre 0 e n,
inclusive.
As tabelas também mostram a probabilidade
correspondente a cada valor de X. Por extensão, podemos dizer que,
conhecido o valor de n, é possível calcular a probabilidade de X
assumir qualquer valor inteiro de 0 a n.
Vamos aceitar, sem demonstração, que a
probabilidade de X assumir um valor específico x é dada pela
fórmula da distribuição binomial:
🔸 
é o coeficiente binomial.
🔸 p é a probabilidade de sucesso (por exemplo, sair cara).
🔸 q=1−p é a probabilidade de fracasso (por exemplo, sair coroa).
Para praticar, vamos usar n = 4. Quando uma moeda é lançada 4 vezes, podem ocorrer 0, 1, 2, 3 ou 4 caras. Usando a fórmula, calculamos as probabilidades para cada valor de X e organizamos os resultados na Tabela 4.
Tabela 4
Distribuição binomial com n = 4 e p = ½
📢 Características
da Distribuição Binomial
🔸 São n eventos idênticos (também chamados
ensaios ou tentativas).
🔸 Cada evento tem dois resultados possíveis:
“sucesso” (X = 1) e “fracasso” (X = 0).
🔸 A probabilidade de sucesso em cada evento é
constante e igual a p.
🔸 Os eventos são independentes: o resultado de
um não afeta os demais.
🔸 A variável aleatória X representa o número
de sucessos em n eventos.
📢 Parâmetros da Distribuição Binomial
1.
n: número de eventos ou tentativas (exemplo: lançar
uma moeda 10 vezes).
2.
p: probabilidade de sucesso em cada tentativa
(exemplo: sair cara em um lançamento).
Importante lembrar
✅ n é o número
de tentativas
✅ x é o número
de sucessos
✅ p é a
probabilidade de sucesso
✅! indica fatorial, utilizado em cálculos de análise combinatória.
Convém observar que:
No comments:
Post a Comment