Função logística

As funções assintótico-sigmoides desempenham papel importante em estudos de crescimento, sejam eles de natureza biológica, econômica ou demográfica, para os quais os modelos lineares são, muitas vezes, inadequados.

O ajuste dessas funções aos dados de crescimento se fundamenta na observação de que tais dados, colocados em gráfico, formam uma curva em forma de S (sigmoide) e mostram tendência à estabilização (a curva é assintótica).

Diferentes funções matemáticas são assintótico-sigmoides. No entanto, quando se trata de crescimento, apenas em alguns poucos casos existe informação definida sobre a relação entre as variáveis, caracterizando a função, ou existe uma equação diferencial que a função deve, obrigatoriamente, satisfazer.

No campo biológico, o tipo de função assintótico-sigmoide que mais bem descreve dados de crescimento deve ser pesquisado. Nesse campo, nas palavras de Berkson (1), “é realmente gratuito falar em uma teoria de fenômenos observados em qualquer sentido literal e sério. Os fatores envolvidos são tantos e o conjunto é tão variado e complexo que o modelo usado deve ser considerado como uma curva meramente empírica, com grande utilidade descritiva, mas sem qualquer significado teórico específico”.

Entretanto, o ajuste dessas funções é relativamente difícil. Esta afirmativa é comprovada pela quantidade de métodos propostos para o ajuste de funções assintótico-sigmoides. É claro que, com a atual facilidade do uso de programas de computador, a quantidade de cálculo exigida pelos processos iterativos de ajuste das funções assintótico-sigmóides não constitui problema. Mas um problema permanece: escolher a função matemática mais adequada para descrever um conjunto de dados de crescimento.

A função logística, definida por três parâmetros a, b, c 

                                                                                                      

foi indicada em 1845 para o estudo descritivo do crescimento de populações humanas por Verhulst (2), que a denominou “curva logística”.

         Muitos anos mais tarde, isto é, em 1920, Pearl e Reed (3), sem conhecerem a contribuição de Verhulst (2), obtiveram empiricamente a mesma curva e a utilizaram para descrever a população dos Estados Unidos da América, de 1710 a 1910, usando dados de censo.  

       A partir daí, a curva logística tem sido bastante estudada e largamente utilizada para representar dados empíricos de crescimento de animais e vegetais, de populações humanas e de adoção de novos bens econômicos.

       A função (1) é monotonicamente crescente e fica entre duas assíntotas, Z = 0 e Z= a. O parâmetro a, que é a distância entre as duas assíntotas, é conhecido como “nível de saturação”. O parâmetro c está relacionado com a taxa de crescimento de Z, uma vez que

                             

O parâmetro b é dito “de posição”, porque, mudando o valor de b, mas mantendo fixos os outros dois parâmetros, a função se movimenta horizontalmente.

A função (1) tem ponto de inflexão para a abscissa t = -b/c, onde Z vale a/2. A curva logística é radialmente simétrica em torno de seu ponto de inflexão.

O uso da função logística para o estudo descritivo de crescimento tem base na equação diferencial  

                                                                   

      em que c/a é uma constante.

A equação (3) mostra que a taxa de crescimento da função logística é proporcional ao valor alcançado pela função e à diferença entre esse valor e o “nível de saturação”.

Reconhece-se, portanto, na logística um “fator de momento” igual a Z e um “fator de contenção” igual a (a - Z), usando a denominação dada por Lange (4).

De (3) segue-se que: 

isto é, a taxa de crescimento de Z decresce linearmente com o aumento de Z.

Devido às características peculiares, a função logística é recomendada para a descrição de certos tipos de fenômenos. Entretanto, são essas mesmas características que tornam a função inadequada para descrever outros tipos de fenômenos.

Referências

1)  Berkson, J. Application of the logistic function to bio-assay.

J. Am. Statist. Ass., Boston, 39:357-65,1944.

2) Verhulst, P.E. Recherches mathématiques sur la loi d’accroissement de la population. Académie de Bruxelles, Bruxelles, 18:1-38.

3) Pearl, R. e Reed, L.J. On the rate of growth of the population of the United States since 1790 and its mathematical representation. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, Washington, 6:275-88,1920

4) Lange, O. Introdução à econometria. 2. ed. São Paulo, Fundo de     Cultura, 1967, p 23-31

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Continuaremos a discorrer sobre a função logística em outras postagens. Veja:
Vieira, S. Estudo de funções assintótico sigmoides. Unicamp. Tese de livre docência. 1975.