Distribuição hipergeométrica (2): gráficos

 

   Para melhor conhecer a distribuição hipergeométrica, vamos voltar ao exemplo dado na postagem anterior.

PROBLEMA: Uma caixa contém 20 bolas vermelhas e 20 bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa ao acaso. Seja X₁ o número de bolas vermelhas que podem ser retiradas da caixa. Vamos fazer, consecutivamente,  X_{1 =} 0, 1, 2, 3, 4. Calcule as respectivas probabilidades. Você terá a distribuição hipergeométrica para N = 40, N₁ = 20, N₂ = 20 e n = 4.  Organize os resultados em uma tabela e em um gráfico.

SOLUÇÃO:

É dada a fórmula:

   Comece fazendo, nessa fórmula, x1 = 0. Então:

Agora, fazendo consecutivamente X₁= 1, 2, 3 e 4, você obterá, para cada valor, a respectiva probabilidade. Os resultados estão na Tabela 1 e no Gráfico 1.

    Tabela 1. Distribuição hipergeométrica:

 

N₁= N₂=20, n= 4

X1	P(X1)
0	0,05301
1	0,24948
2	0,39501
3	0,24948
4	0,05301
Total	1

 

                   Gráfico 1. Distribuição hipergeométrica 

                                    N₁= N₂= 20 e n= 4

A distribuição é simétrica. Vamos ver então uma distribuição hipergeométrica assimétrica.

PROBLEMA: Uma caixa contém 20 bolas vermelhas e quatro bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa ao acaso. Faça X₁ indicar o número de bolas vermelhas retiradas. Os valores possíveis são X_{1 =} 0, 1, 2, 3, 4. Calcule a  probabilidade para cada um desses valores possíveis de X₁ e você terá a distribuição hipergeométrica para n₁ = 20 e n₂ = 4 e n = 4.  Organize os resultados em uma tabela e em um gráfico.

É dada a fórmula:

Fazendo X_{1 =} 0, 1, 2, 3 e 4 consecutivamente, você obtém as respectivas probabilidades. Os resultados estão na Tabela 2 e no Gráfico 2. Note que a distribuição é assimétrica.

                           Tabela 2. Distribuição hipergeométrica:

                                         N₁=20, N₂=4 e n=4

                         Gráfico 2. Distribuição hipergeométrica:

                                    N₁=20, N₂=4 e n=4

   Para bem entender a distribuição hipergeométrica, vamos ver outro exemplo. Mas saiba que os resultados de problemas como os apresentados aqui podem ser apresentados em uma tabela 2 x 2. Veja a tabela 3, que apresenta os resultados de uma distribuição hipergeométrica.

Tabela 3. Apresentação tabular da distribuição hipergeométrica

    Vamos limitar nossa apresentação das possíveis distribuições hipergeométricas a partir de um exemplo de Fisher, o famoso estatístico que propôs, a partir da distribuição hipergeométrica, o teste exato de Fisher. Veja a Tabela 4. A distribuição está no Gráfico 3.

        

                             Tabela 4. Distribuição hipergeométrica:

                                            N₁ = N₂ = n= 3 

   Os totais marginais são fixos. A tabela tem 1 grau de liberdade, isto é, mudando o valor de uma célula, mudam os valores de todas as outras. Vamos então estudar a distribuição para número de mortos igual a zero, 1, 2 e 3. Então:

    Gráfico 3. Distribuição hipergeométrica: 

N₁ = N₂ = n= 3

Veja agora a Tabela 5 e a respectiva distribuição, que está no Gráfico 4. O tamanho dos grupos foi modificado, mas foram mantidos o tamanho da população (6) e tamanho da amostra (3). Vamos então estudar a distribuição para x_i = 1, 2 e 3. Note que x_i não pode ser igual a 4, porque a amostra é de tamanho 3, nem igual a zero, porque só há dois controles. Então, uma amostra de 3 contém, necessariamente, um elemento tratado.

                            Tabela 5. Distribuição hipergeométrica:

                                       N₁ = 4, N₂ = 2, n = 3 

         Gráfico 4. Distribuição hipergeométrica N₁= 4, N₂= 2 n= 3

Observe agora a Tabela 6 e a respectiva distribuição, que está no Gráfico 5. O tamanho dos grupos foi modificado, mas mantidos o tamanho da população (6) e o tamanho da amostra (3). Vamos então estudar a distribuição para x_i = 2 e 3. Note que outros valores de x_i não são possíveis.

Tabela 6. Distribuição hipergeométrica: 

N₁ = 5, N₂ = 1, n = 3

Gráfico 5. Distribuição hipergeométrica:

 N₁= 4, N₂= 2 n= 3

         Como pode ser entendido nestes últimos exemplos, mantendo fixos os tamanhos da população e da amostra, mas fazendo variar o tamanho dos grupos, mudam as probabilidades associadas às diferentes células da tabela. 

           Hypergeometric Calculator: Disponível em:                                            https://stattrek.com/online-calculator/hypergeometric.aspx. 

                       Acesso em: 10/03/2021