Distribuição hipergeométrica: exercícios com solução

                                                       

                                            ⚠️   Exercícios   

1.     🤯Dos 25 itens de um lote finalizado em uma linha de produção, 2 eram não conformes. Foram retirados ao acaso 4 itens para inspeção. a) Calcule a probabilidade de os 4 itens amostrados serem conformes. b) A amostra pode ter 3 itens não conformes?  Imagine que uma fábrica produz parafusos, e um lote de 100 parafusos contém 10 defeituosos. Você seleciona uma amostra aleatória de 5 parafusos sem reposição. Qual é a probabilidade de encontrar exatamente 2 parafusos defeituosos na amostra? 

      Dados:                  

          N =100 (total de parafusos)

          N₁ =10 (parafusos defeituosos)

          n = 5 (parafusos na amostra)

          x₁ =2 (exatamente 2 defeituosos na amostra)

A probabilidade é:

                                      

   Cálculo dos coeficientes binomiais:

      Agora, calculamos a probabilidade:

   🔚A probabilidade pedida aproximadamente 0,0702 ou  7,02%.

2. 🤯 Um hospital está testando um novo tratamento para uma doença rara. Em um grupo de 50 pacientes, 25 receberam o tratamento experimental e 25 receberam um tratamento padrão. Para um estudo mais detalhado, os médicos selecionam aleatoriamente 5 pacientes sem reposição para exames laboratoriais mais aprofundados. Qual é a probabilidade de que exatamente 2 dos 5 pacientes selecionados tenham recebido o tratamento experimental?

 Dados:

                  N = 50 (total de pacientes)

                  N₁ = 25 (pacientes com tratamento experimental)

                  n = 5 (pacientes selecionados)

                  x₁ = 2 (exatamente 2 receberam tratamento experimental)

A fórmula é a mesma:

Cálculo dos coeficientes binomiais

 Agora, calculamos a probabilidade:

🔚A probabilidade de selecionar 2 pacientes que receberam o tratamento experimental na amostra de 5 é 0,3257 (ou aproximadamente 32,57%. 

3.  🤯 Entre os dez pares de meias de uma pessoa, quatro pares precisam de conserto. Se ela escolher aleatoriamente três desses pares para levar em uma viagem, qual é a probabilidade de que um par precise de conserto?

    🔚A probabilidade de selecionar um par que precisa de conserto é 0,5 ou 50%.

      4. 🤯Entre os 16 caminhões de entrega de uma loja de departamentos, cinco têm freios

       desgastados. Se três dos caminhões forem aleatoriamente marcados para uma revisão,

       qual é a probabilidade de que dois tenham freios desgastados?

                  N = 16 (total de caminhões)

                  N₁ = 5 (freios desgastados)

                  n = 5 (caminhões marcados para revisão)

                  x₁ = 2 ( 2 com freios desgastados)

                                          

       🔚A probabilidade de selecionar 2 caminhões com freios desgastados é 19,64%%.

           5 .🤯 Numa prisão federal para mulheres, 31 das 102 reclusas têm opiniões políticas

           radicais. Se cinco delas forem escolhidas aleatoriamente para comparecer perante

           um comitê legislativo, encontre a probabilidade de que apenas uma delas tenha visões                           políticas radicais.

                  Dados

                  N = 102 (total de reclusas)

                  N₁ = 5 (opiniões políticas radicais)

                  n = 5 (cinco escolhidas)

                  x₁ = 1 ( 1 opiniões políticas radicais)

    🔚A probabilidade de  1 reclusa com opiniões políticas radicais estar na amostra é

                   0,3616 ou 36,16%.

6. 🤯Há 5 pessoas em uma sala: 3 foram vacinadas contra a gripe e 2 não foram vacinadas. Toma-se uma amostra de 3 pessoas. a) Construa uma tabela para apresentar os dados. b) Qual é a probabilidade de as 3  terem sido vacinadas?

                  N = 5 (total de pessoas)

                  N₁ = 3 (vacinadas)

                  N₂ = 2 (não vacinadas)

                  n = 3 (cinco escolhidas)

                  x₁ = 3 (vacinadas)

                          

  🔚A probabilidade de  as três pessoas vacinadas  estarem na amostra é 0,10 ou 10,0%. 

7. 🤯Um baralho tem 52 cartas, das quais 26 são vermelhas e 26 são pretas. 

Você tira uma carta ao acaso. Qual é a probabilidade de você ter tirado uma carta vermelha? 

São 52 possibilidades, das quais 26 são favoráveis. Então a probabilidade de sair uma carta “vermelha” é 0,5 ou 50%. Simples, não é? Mas vamos complicar. Vamos ver o problema como uma hipergeométrica. 

Temos um baralho de 52 cartas (N = 52). Metade é de cartas vermelhas (N1= 26) e metade é de cartas pretas (N2 =26). Tira-se uma carta (n = 1) ao acaso. Qual é a probabilidade de essa carta ser vermelha  (x1)? Construa uma tabela para apresentar esses dados e calcule a probabilidade pedida usando a hipergeométrica.

                                                                               

       🔚A probabilidade de  a carta ser vermelha é 0,50 ou 50,0%.