Sonia Vieira: Distribuição hipergeométrica: conceito e aplicação prática

🔴 O PROBLEMA

Uma caixa contém 20 bolas vermelhas e 20 bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa ao acaso, sem reposição. Qual é a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas e, consequentemente, duas azuis?

✅ A SOLUÇÃO

A caixa contém um total de 40 bolas. Como quatro bolas são retiradas sem reposição, o número total de maneiras possíveis de escolher essas 4 bolas é dado pela combinação:

Agora, queremos calcular o número de maneiras de retirar exatamente 2 bolas vermelhas e 2 bolas azuis.

· O número de maneiras de escolher 2 bolas vermelhas entre as 20 disponíveis é:

· O número de maneiras de escolher 2 bolas azuis entre as 20 disponíveis é:

Como essas escolhas são independentes, o número total de maneiras de retirar 2 bolas vermelhas e 2 bolas azuis é:

A probabilidade pedida é obtida dividindo esse valor pelo número total de formas de escolher 4 bolas da caixa:

Temos que, combinação de 40, 4 a 4 é

e combinação de 20, 2 a 2 é

Logo:

Resolvendo:

🔚 FINALMENTE: Podemos dizer que a probabilidade de retirar 2 bolas vermelhas e

2 bolas azuis é aproximadamente 39,5%.

⭐ CONCEITUAÇÃO

Vimos um exemplo típico de distribuição hipergeométrica. Essa distribuição descreve a probabilidade de obter um número específico de elementos do tipo A em uma amostra de tamanho n, retirada sem reposição de uma população finita de tamanho N, contendo N₁ elementos do tipo A e N₂ elementos do tipo B.

Resumindo, você tem uma distribuição hipergeométrica quando possui:

1. População finita de tamanho N;

2. Nessa população, N₁ elementos são do tipo A;

3. Nessa população, N₂ elementos são do tipo B;

4. Você retira uma amostra de tamanho n sem reposição;

5. Deseja calcular a probabilidade de obter X₁ elementos do tipo A na amostra.

Essa distribuição é utilizada em situações em que a seleção de um elemento muda a probabilidade de selecionar os próximos. Isso ocorre, por exemplo, em sorteios, amostragens na área de qualidade e levantamentos estatísticos em populações finitas.

É importante notar que:

1. A distribuição hipergeométrica é apropriada para situações em que o tamanho da população total é conhecido e se deseja saber a probabilidade de retirar um determinado número de elementos com uma característica específica;

2. A probabilidade de selecionar um determinado elemento muda a cada retirada, porque não há reposição;

3. A distribuição hipergeométrica modela o número de elementos de interesse em amostras de tamanho n retiradas de uma população finita sem reposição.

⭐ DEFINIÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA

Seja uma população com unidades, das quais:

são do tipo A

são do tipo B

Evidentemente, temos:

Agora, considere uma amostra aleatória de tamanho () extraída dessa população. Definimos:

número de elementos do tipo A na amostra

número de elementos do tipo B na amostra

Como a amostra é retirada sem reposição, temos:

A variável aleatória representa o número de elementos do tipo A na amostra. Seus valores possíveis são:

A probabilidade da variável aleatória assumir um valor específico é dada pela função de probabilidade da distribuição hipergeométrica:

⭐ Desenvolvendo a expressão

Desenvolvendo a fórmula (as combinações indicadas entre parêntesis)

vem:

🔴 O PROBLEMA JÁ RESOLVIDO

Vamos voltar ao problema dado no início: uma caixa contém 20 bolas vermelhas e 20 bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa ao acaso. Qual é a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas e, consequentemente, duas azuis?

🔚 A probabilidade pedida é aproximadamente 39,5%.

⚠️ EXEMPLOS

🔴1. Dos 30 professores de uma escola, 20 são mulheres e 10 são homens. É tomada uma amostra, totalmente ao acaso, de 5 professores para discutir o problema de um aluno. Qual é a probabilidade de: a) a amostra seja constituída só por mulheres? b) a amostra seja constituída por 3 mulheres e 2 homens?

✅ A SOLUÇÃO:

Para a questão a)

É dada a fórmula:

Substituindo os valores:

Para a questão b)

A fórmula é a mesma que usamos na resposta a). Substituindo os valores:

🔚 As probabilidades pedidas são: para a) aproximadamente 10,9% e para b) aproximadamente 36,4%.

🆕Para calcular esses valores, você pode usar um software, mas também é fácil usar uma calculadora:

Hypergeometric Calculator: Disponível em:

https://stattrek.com/online- calculator/hypergeometric.aspx.

Acesso em: 10/03/2021

🔴 2. Dos 25 itens de um lote finalizado em uma linha de produção, 2 eram não conformes. Foram retirados ao acaso 4 itens para inspeção. a) Calcule a probabilidade de os 4 itens amostrados serem conformes. b) A amostra pode ter 3 itens não conformes?

Vamos aplicar, para resolver o item a), a fórmula:

Substituindo os valores:

A questão b)

Não. São dois itens não conformes. .Não há como retirar três itens não conformes.

🔚 A probabilidade pedida em a) é 70%. Para a pergunta b) a resposta é Não.

🔴 3. Uma caixa contem bolas vermelhas (11) e bolas azuis (7). Retiram-se 8 bolas da caixa ao acaso, sem reposição. a) Construa uma tabela para apresentar esses dados. b) Qual é a probabilidade

de saírem 3 bolas azuis e 2 vermelhas? c) Mostre os resultados em uma calculadora.

b) Para achar a probabilidade, aplique a fórmula: