Sonia Vieira: Distribuição hipergeométrica (1): função de distribuição

Wednesday, March 10, 2021

Distribuição hipergeométrica (1): função de distribuição

Para entender distribuição hipergeométrica, veja um exemplo.

PROBLEMA: Uma caixa contém 20 bolas vermelhas e 20 bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa ao acaso. Qual é a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas e, consequentemente, duas azuis?

SOLUÇÃO: A caixa contém 20 + 20 = 40 bolas. Dela são retiradas quatro bolas ao acaso. O número de eventos diferentes possíveis é

De quantas maneiras podem ser retiradas duas bolas vermelhas? Há 20 bolas vermelhas na caixa. Existem

maneiras de serem retiradas duas bolas vermelhas da caixa. Da mesma forma, existem

maneiras de serem retiradas duas bolas azuis da caixa. Logo, a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas e duas bolas azuis dessa caixa, quando são retiradas ao acaso quatro bolas, é:

Definição de distribuição hipergeométrica

Seja uma população com N unidades, das quais N₁são do tipo A e N₂são do tipo B. Evidentemente:

N₁ + N₂ = N

Seja X₁o número de elementos do tipo A e X₂o número de elementos do tipo B em amostras aleatórias de tamanho n ≤ N que podem ser tomadas dessa população. Então

X₁+ X₂= n

Imagine que vai ser tomada uma amostra de tamanho n dessa população. Então X₁é uma variável aleatória cujos valores possíveis são 0, 1, 2, ... , n. Evidentemente:

X₁ + X₂ = n

Se X₁é uma variável aleatória cujos valores possíveis são 0, 1, 2, ..., n, a probabilidade de X₁assumir valor x₁é dada por:

Como

a função de distribuição hipergeométrica pode ser escrita como segue:

Uma distribuição hipergeométrica fica, portanto, definida quando são dados N, N₁, n e X₁. Essa função descreve a probabilidade de obter um número específico de elementos A (x₁) em uma amostra (de tamanho n) retirada sem reposição de uma população finita (de tamanho N) contendo N₁elementos A. É utilizada em situações onde os elementos da população não são substituídos após serem selecionados.