MÉDIA MÓVEL

Denomina-se série temporal ao conjunto de observações de uma variável ao longo do tempo. São exemplos de série temporal: dados meteorológicos de uma cidade coletados diariamente, vendas mensais de um produto em determinado hipermercado ao longo de anos, gráficos de controle diários de um processo produtivo em uma empresa no mês, dados demográficos de um país em vários censos. 

A suposição básica no estudo das séries temporais é a de que o tempo é um fator que modifica os valores da variável de interesse. Para observar o efeito do tempo em uma série temporal, desenha-se um gráfico de linhas, também chamado gráfico de série temporal. Os dados observados referem-se à variável dependente, variável resposta ou desfecho e o tempo é a variável independente, variável explanatória ou fator. 

Veja os dados apresentados na Tabela 1 e na Figura 1. No gráfico, os pontos consecutivos ligados por linhas ajudam a visualizar as mudanças da variável no período em estudo. Assim, a Figura 1 mostra, nitidamente, o crescimento da população brasileira entre 1940 e 2010. Nesse período, a população mais do que quadruplicou.

Tabela 1 - População residente no Brasil, segundo o ano do Censo Demográfico

Figura 1 - População residente no Brasil, segundo o ano do Censo Demográfico

Nem sempre, porém, se observam gráficos de séries temporais com um padrão tão facilmente visível de tendência, como o visto acima. É clássico buscar quatro padrões de variação nas séries temporais:

·      Tendência, que é o comportamento de longo prazo da série, como é o caso de crescimento demográfico, mostrado na Figura 1.

·      Variação cíclica, ou seja, flutuação nos valores da variável que ocorre com certa periodicidade, mas em períodos longos, acima de um ano; é o caso das mudanças no estado médio da atmosfera (como as causadas por variações na atividade solar).

·      Variação sazonal, que é a flutuação nos valores da variável com duração menor do que um ano, mas se repetem geralmente em função das estações do ano.

·      Variação irregular, causada por  fatos fortuitos e inesperados como, por exemplo, catástrofes naturais.

Os componentes citados não estão sempre presentes em uma série temporal. Veja alguns exemplos.

·         A série da Figura 1 apresenta apenas tendência, isto é, comportamento crescente no longo prazo (sete décadas).

·         A série da Figura 2 apresenta apenas variações irregulares, mas de processo sob controle, isto é, pontos dentro dos limites de controle (LSC e LIC.).

Figura 2 - Gráfico de controle típico

Fonte: Vieira, S. Estatística para a Qualidade. 3 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 20114

·         A série da Figura 3 apresenta tendência, variação sazonal e variações irregulares: o comportamento de longo prazo da série é pouco crescente, há variação sazonal (meses chuvosos e meses de seca), mas há flutuações irregulares dentro dos períodos de um ano, em todos os anos.

Figura 3 - Alturas pluviométricas anuais, em mm

 

Fonte: Gasparetto, S. C. Comparação entre métodos de imputação de dados em diferentes intensidades amostrais na série homogênea de precipitação pluvial da ESALQ. https://teses.usp.br/teses/disponiveis/11/11134/tde-23082019-150302/publico/

·         A série da Figura 4 apresenta flutuações sazonais e variações irregulares; pequena tendência de queda.

Figura 4 – Preços, em reais, da saca de 60kg de milho no Estado de São Paulo, 2012-2014

Fonte: Souza, C.C et alii. Análise do padrão sazonal e da variação dos preços do milho aos produtores do estado de São Paulo, Brasil. Rev. de Ciências Agrárias vol.40 no.2  Lisboa jun. 2017. http://dx.doi.org/10.19084/RCA16110 

A análise de séries temporais deve identificar padrões de variação da variável de interesse. A observação do comportamento passado ajuda previsões para o futuro, facilitando a tomada de decisões. Uma das maneiras de estudar a tendência de uma série temporal é por meio de médias móveis, que reduzem o impacto de picos e quedas acentuados. Elas servem para "suavizar" dados cronológicos ou, em outras palavras, promovem o “alisamento” para que a curva de tendência fique mais visível.

Médias móveis

Vamos ver aqui como se calculam médias móveis. Imagine uma série temporal como, por exemplo, o número de óbitos por dia devido à COVID-19. Sejam y_t os valores da variável. A média móvel simples de k termos é obtida somando k termos consecutivos da série e dividindo o resultado por k. Então, dada a série de valores y_t  em que t = 1, 2, ..., n, as médias móveis dessa série são dados por:

Como exemplo para aprender a calcular uma média móvel simples, veja os seguintes dados, que se referem aos dias de uma semana:

 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17. 

Vamos calcular médias móveis de cinco termos (k =5). A primeira média móvel abrange os primeiros cinco dias. A segunda média móvel descarta o primeiro dia (11) e adiciona um novo dado da sequência (16). A terceira média móvel continua descartando o primeiro dado da média móvel anterior (12) e adicionando o novo dado (17).

No exemplo acima, os dados aumentam gradualmente de 11 para 17 em um total de sete dias. As médias móveis simples aumentam de 13 para 15. 

As médias móveis simples serão indicadas por MMi.  Para indicar que calculamos uma média móvel de ordem k, escrevemos k-MM.

Veja outro exemplo. Com os dados da série temporal apresentada em seguida, calcule as médias móveis simples de três termos. Faça o gráfico.

25, 85, 65, 45, 95, 75, 15, 35

Cálculo de 3-MM

MM₃ = (25+85+65)/3 = 58,33

MM₄ = (85+65+45)/3 = 65,00

MM₅ = (65+45+95)/3 = 68,33

MM₆ = (45+95+75)/3 = 71,67

MM₇ = (95+75+15)/3 = 61,67

MM₈ = (75 +15+35)/3 = 41,67

 Gráfico 3-MM