Teorema: Cada termo do
desenvolvimento de um determinante contém um e um só elemento de cada fila.
Por
definição:
Os
primeiros índices são fixos, obtidos da diagonal principal. Portanto, em cada
termo do desenvolvimento do determinante existe um e somente um elemento de
cada linha. Os segundos índices são permutações, sem repetição, de 1, 2, 3,…, n. Logo, cada termo do desenvolvimento
do determinante tem nos segundos índices um número de 1 a n, sem repetição. Consequentemente, em cada termo do
desenvolvimento do determinante aparece um e somente um elemento de cada linha.
Exemplo 6
Veja
que cada termo dessa fórmula contem somente um elemento de cada linha.
1. Corolário Se multiplicar ou
dividir os elementos de uma fila de um determinante D por um fator k arbitrário,
você obtém um determinante D’ igual
ao determinante D multiplicado ou
dividido por esse fator.
D’= k
D
Seja o determinante:
Se você multiplicar a r-ésima
linha por k, obtém:
A constante aparecerá uma e uma só vez em todos os termos de D’. Então:
Donde:
D’= k
D
Exemplo
Seja o determinante:
Multiplicando a terceira linha por 4,
vem:
Logo:
2. Corolário Todo determinante que tem uma fila de elementos nulos é
igual a zero.
Seja o determinante:
Se os elementos da r-ésima fila forem todos iguais a zero, todos os termos do
desenvolvimento de D terão um fator
nulo.
Exemplo
Seja o determinante:
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