A postagem anterior traz a definição de
determinante como segue:
É o somatório dos n! produtos obtidos da diagonal principal deixando fixos os
primeiros índices e considerando todas as permutações possíveis dos segundos
índices precedidos de sinais positivos ou negativos conforme seja par ou ímpar
o número de permutações, o que equivale a multiplicar cada produto por (-1)p onde p é a classe de permutações dos segundos índices. Logo:
Não é fácil captar a definição, quando se
começa a estudar matrizes. Mas vamos tentar devagar.
1. “Determinante
é um somatório de n! produtos”.Você já sabe que n! significa fatorial de n,
assim obtido:
Então, se a matriz for 2 x 2, você terá que
somar 1 x 2=2 produtos; se a matriz for 3 x 3, você terá que somar 1 x 2 x 3=6 produtos,
e assim por diante.
2. “produtos obtidos da diagonal principal”, ou seja:
deixando
fixos os primeiros índices. Então, se a matriz for 3 x 3, vamos, por ora, escrever:
Os pontos de interrogação devem ser
substituídos pelos segundos índices. Mas quais são eles?
3. A definição diz “considerando todas as permutações
possíveis dos segundos índices”. Lembre-se da diagonal
principal:
Veja os segundos índices: 1; 2; 3. Quais
são as permutações possíveis desses índices? Vamos lá:
Logo, você deve fazer o somatório de:
Note
bem: os primeiros índices são sempre 1, 2 e 3. Os segundos índices seguem as
permutações que descrevemos.
4. Você deve agora fazer o somatório, mas
atenção para os sinais, que devem ser “positivos ou negativos conforme seja par ou ímpar o número de permutações”
nos segundos índices. Então (1; 2; 3) tem zero permutação, sinal +; (1; 3; 2)
tem uma permutação (3 com 2), logo sinal -; (2; 1; 3) tem uma permutação (2 com
1), logo sinal -. Então, dada a matriz M, você acha o determinante:
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