Uso de matriz inversa para a solução de equações

 

MATRIZES : REGRA DE CRAMER PARA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

 

Uma das aplicações mais importantes de matrizes é a solução de equações lineares simultâneas. É claro que o uso de um computador torna o trabalho muitíssimo menos demorado e dá maior confiança nos resultados. A aritmética envolvida na álgebra matricial é penosa! Mas vamos dar alguns exemplos que você deve conferir usando apenas papel e lápis, porque isso não só ajuda a entender os procedimentos como também facilita a interpretação dos resultados e posterior compreensão de textos mais avançados. 

 

5.1. Escrevendo equações na forma de matrizes

Considere as equações simultâneas

 Elas podem ser escritas na forma de matriz:

1. A primeira matriz, A, é denominada matriz dos coeficientes. É uma matriz 2 x 2.

2. A segunda matriz, X, em que os elementos são as incógnitas, é um vetor coluna de ordem 2 x 1.

3. A terceira matriz Y também é um vetor coluna de ordem 2 x 1, e os elementos são os termos conhecidos.

 O sistema de equações pode ser escrito como AX=Y.

5.2.  Regra de Cramer

 

5.2.1.    Duas equações com duas incógnitas

Vamos começar resolvendo um sistema de duas equações com duas incógnitas, x₁ e x₂. É dado o sistema de equações lineares:

Ache o determinante de A, que deve ser obrigatoriamente diferente de zero.

Substitua a primeira coluna de matriz A pelos termos conhecidos do sistema de equações. Será a matriz D₁. Calcule o determinante de D₁.

                  

     Substitua a segunda coluna da matriz A pelos termos conhecidos do sistema de equações. Será a matriz D₂. Calcule o determinante.

     Calcule:

                             

 Exemplo

Resolva o sistema de equações usando a regra de Cramer.

Solução:

5.2.1.    Três equações com três incógnitas

Procedimento similar ao que foi seguido para resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas pode ser usado para resolver um sistema de três equações com três incógnitas, usando a regra de Cramer. Seja o sistema de equações:

A solução desse sistema de equações é dada por:

         
 O determinante da matriz dos coeficientes é, necessariamente, diferente de zero.

     As outras três matrizes são:

                        
   Exemplo

Usando a regra de Cramer, ache a solução de:

Primeiro, vamos achar o determinante dos coeficientes:

Podemos agora achar os determinantes dos numeradores das frações, uma vez que D≠0.

A solução desse sistema de equações é dada por

         Quatro equações com quatro incógnitas

Para achar a solução para um sistema de quatro equações com quatro incógnitas usando a regra de Cramer, o procedimento é similar ao que foi seguido para resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas. Então, vamos direto para um exemplo.

Exemplo

Usando a regra de Cramer, ache a solução de:

Vamos calcular o determinante dos coeficientes das incógnitas:

           A solução é (1, 2, -3, -1)