ANOVA: o modelo mais simples

A finalidade da experimentação é comparar os efeitos de diferentes tratamentos. Nas ciências agrárias, é usual comparar diversos tratamentos ou situações e utilizar, para a avaliação estatística, uma análise de variância. No entanto, para que os resultados da análise de variância sejam válidos, é preciso que os erros sejam variáveis aleatórias independentes com distribuição normal de média zero e variância constante. Mas o que são erros? Antes de definir erro, convém entender como se avaliam os efeitos de tratamentos.

Os efeitos dos tratamentos podem ser estimados fazendo a diferença entre suas médias e a média geral. Representando os efeitos de tratamentos por t_i podemos escrever:

Há tratamentos com efeitos positivos (acima da média) e tratamentos com efeitos negativos (abaixo da média). A soma dos efeitos dos tratamentos é, evidentemente, zero. 

 Exemplo: para comparar os efeitos de quatro tratamentos (A, B, C, D) sobre a produtividade de milho, um pesquisador sorteou os tratamentos para 20 parcelas. Terminado o experimento e colhidos os resultados, o pesquisador obteve os dados apresentados na Tabela 1. As médias dos tratamentos estão no rodapé dessa tabela.

Tabela 1: Produtividade de milho em kg/100 m² segundo o tratamento

A média geral é dada pela soma de todos os valores dividida por 20:

Para os dados da Tabela 1, as estimativas dos efeitos dos tratamentos são:

Essas estimativas estão apresentadas na Figura 1. Fica então fácil ver que, em média, o tratamento D teve o maior efeito.

    Figura 1. Estimativas dos efeitos de tratamento

Unidades experimentais que recebem o mesmo tratamento não têm, exatamente, a mesma resposta. No exemplo que estamos desenvolvendo, as parcelas de milho que receberam o mesmo tratamento apresentam produtividade diferente. Essas diferenças são explicadas pela variação, mesmo que pequena, da fertilidade do solo e da umidade entre uma parcela e outra, da variação da profundidade da semeadura, da variação da capacidade germinativa das sementes, da variação na aplicação do tratamento às parcelas, de erros de pesagem do milho colhido e outros fatores, que não foram não considerados pelo pesquisador. Há sempre variabilidade.

Então a produtividade de determinada parcela Y_ij é dada pela média obtida no experimento, mais o efeito do i-ésimo tratamento, acrescida de um desvio ou resíduo e_ij. Podemos então escrever:

Esta equação representa o que o pesquisador coletou, ou seja, os resultados do experimento que temos em mãos. Mas poderiam ser feitos outros experimentos nas mesmas condições. Se imaginarmos “infinitos” experimentos conduzidos nas mesmas condições, teríamos os valores verdadeiros – que o estatístico chama de parâmetros – da média de produtividade de milho (m) e dos efeitos de tratamentos (t_i). Teríamos, também, os erros (e_ij) e não simplesmente os desvios, isto é, teríamos a diferença verdadeira entre um dado medido em uma parcela e a média do tratamento que essa parcela recebeu.

 Você pode até estar pensando que tudo isso são teorias e que, na verdade, todo pesquisador tem uma boa ideia da produtividade média de milho na região em que trabalha devido a sua experiência e seu conhecimento da literatura. Mas nenhum pesquisador sabe o valor exato de m. E todo pesquisador que faz um experimento para estudar o efeito de diferentes tratamentos sobre a produtividade de milho, sabe que está apenas estimando esses efeitos_.

   Então, imagine um experimento inteiramente ao acaso. Os valores obtidos, ou seja, as respostas das unidades aos tratamentos seguem um modelo. São dadas pela soma de:

• Média de todos os valores possíveis para a variável em análise, representada por  m (lê-se mi),
• Efeito do i-ésimo tratamento sobre as unidades que receberam esse tratamento, representado por t_i (lê-se tau índice i)
• “Erro” aleatório e_ij (lê-se épsilon índice ij).

Escrevemos:

Para que os resultados da análise de variância sejam válidos, é preciso que os erros e_ij sejam variáveis aleatórias independentes com distribuição normal de média zero e variância constante. Mas acabamos de ver: não conhecemos os erros. Temos apenas suas estimativas, os desvios e_ij.  obtidos experimentalmente.

Mas podemos usar os valores dos desvios para testar a hipótese de que os erros são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal de média zero e variância constante. Vamos por partes. Consideraremos esses achados nossas pressuposições para proceder a uma análise de variância se pudermos aceitar – com base na nossa amostra de desvios – que os erros são

As estimativas dos erros, ou seja, os desvios, mais conhecidos como resíduos são obtidos fazendo as diferenças entre os valores observados e as médias dos tratamentos que receberam. Para os dados da Tabela 1, foram calculados os resíduos apresentados na Tabela 2.

Tabela 2- Cálculo dos resíduos dos dados apresentados na Tabela 1

  A análise de resíduos permite estabelecer se uma análise de variância dos dados apresentado na Tabela 1 é aceitável. Logo, é preciso ver como se faz a análise dos resíduos, pois é essa análise que diz se as pressuposições feitas para proceder à análise de variância são razoáveis.