1. O que é assimetria em uma distribuição de dados?
· Se a cauda esquerda é mais pronunciada, temos
assimetria negativa.
· Se a cauda direita é mais pronunciada, a
assimetria é positiva.
· Caso contrário, a distribuição é simétrica.
Os livros costumam apresentar histogramas para
ilustrar caudas longas e o efeito dos valores extremos sobre a média.
Figura 1
Histogramas com diferentes formas de assimetria
Fonte: David P. Doane & Lori E. Seward (2011) Measuring Skewness:
A Forgotten Statistic?, Journal of Statistics Education, 19:2, ,
DOI: 10.1080/10691898.2011.11889611 To link to this article: https://doi.org/10.1080/10691898.2011.11889611
2. Ferramentas visuais para avaliar a assimetria
Além do histograma, considere:
· Boxplot (diagrama de caixa) útil para ver dispersão e valores
extremos.
· Dotplot (diagrama de pontos): mostra o tamanho da amostra.
· Diagrama de ramo e folhas: revela dados
individuais e simetria.
Figura 2
Blogspot e dotplot
3. Média,
mediana e moda: qual é o centro?
Regra clássica:
· - Média > mediana → assimetria à direita.
· - Média < mediana → assimetria à esquerda.
Essa regra pode falhar, especialmente em
distribuições discretas ou multimodais.
Figura 3
Assimetria à direita (média maior
que a mediana)
Fonte: von Hippel, P.T. Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule.
Journal of Statistics Education, 13 (2). 2005. ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html
Figura 4
Assimetria à direita (média menor
que a mediana)
Fonte: von Hippel, P.T. Mean, Median, and Skew:Correcting a Textbook Rule.
Journal of
Statistics Education,
13 (2). 2005. ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html
4. Como
medir a assimetria? Os coeficientes de Pearson
· Primeiro coeficiente de Pearson:
· Segundo coeficiente de Pearson:
em que x-barra = média, md = mediana, s =
desvio padrão da amostra.
Exemplo
Calcule o primeiro e o segundo coeficientes de Pearson para encontrar a
assimetria de dados com as seguintes estatísticas: média = 70,5; mediana =
80; moda = 85; desvio padrão = 19,33.
5. Cuidado com a moda!
· Se a moda for baseada em poucas observações, ela não representa bem a tendência central.
Exemplo comparativo com dois conjuntos pequenos de dados
No conjunto de dados 1; 2; 3; 4; 5; 5, a moda não expressa bem a tendência central. Já no conjunto1; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4, a moda expressa a tendência central.
6. Como interpretar os
coeficientes de Pearson?
· Sinal negativo: assimetria à esquerda.
· Sinal positivo: assimetria à direita.
· Valor próximo de zero: distribuição
aproximadamente simétrica.
7. Momentos
estatísticos e o coeficiente clássico de Fisher-Pearson
· O segundo momento (m₂) é a variância.
· O terceiro momento (m₃) mede a assimetria.
·
Coeficiente tradicional: m₃ /
m₂^(3/2).
8. O coeficiente padronizado de Fisher-Pearson (usado no Excel)
· Fórmula ajustada para o tamanho da amostra:
Exemplo
Calcule o coeficiente de Pearson para os dados : 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 7.
Coeficiente = 0,359543 (diminui com o aumento
da amostra).
9. Uma observação importante
Ao usar essas medidas, normalmente se assume
como referência uma população simétrica específica — muitas vezes, a
distribuição normal.
Vieira, S. Estatística para Qualidade. 3 ed. Rio de Janeiro. Elsevier.
(2) Veja a questão de assimetria, exigida para uma análise de variância, em
Scheffé, H. Analysis of variance. Nova York, Wiley.
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